Hypothesen toetsen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. De basis van heel §14.3–14.5: “Bereken de kans dat het gemiddelde ten onrechte als afwijkend wordt beschouwd”, “Wijkt het steekproefgemiddelde significant af?” (diagnostische toets 6). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• $H_0$ en $H_1$ formuleren en $\alpha$ vermelden.
• Met de wortel-n-wet ${\sigma }_{\overline{X}}$ berekenen.
• De kans op ten onrechte bijstellen en op niet bijstellen berekenen bij een gegeven beslissingsvoorschrift.
• Bij een tweezijdige toets het beslissingsvoorschrift opstellen ($g_l$ en $g_r$ met invNorm).
• Met de overschrijdingskans beslissen of een steekproefresultaat significant afwijkt.

De kern

Steekproefgemiddelde. Is $X$ normaal verdeeld met ${\mu }_X$ en ${\sigma }_X$, dan is bij steekproefomvang $n$ het gemiddelde $\overline{X}$ normaal verdeeld met ${\mu }_{\overline{X}}={\mu }_X{\sigma }_{\overline{X}}=\frac{{\sigma }_X}{\sqrt{n}}$

Hypothesen. De nulhypothese $H_0:{\mu }_X={\mu }_0$ staat tegenover de alternatieve hypothese, bij een tweezijdige toets $H_1:{\mu }_X\ne {\mu }_0$.

Significantieniveau. $\alpha$ is de kans dat je $H_0$ ten onrechte verwerpt: $H_0$ is waar, maar op grond van het steekproefresultaat verwerp je $H_0$.

Tweezijdig beslissingsvoorschrift: verwerp $H_0$ als $\overline{X}\le g_l$ of $\overline{X}\ge g_r$, met links en rechts elk $\frac{1}{2}\alpha$: $g_l=\text{invNorm}(\frac{1}{2}\alpha ,{\mu }_0,{\sigma }_{\overline{X}})g_r=\text{invNorm}(1-\frac{1}{2}\alpha ,{\mu }_0,{\sigma }_{\overline{X}})$

Overschrijdingskans van steekproefresultaat $k$ (bij $H_0:\mu ={\mu }_0$ en $H_1:\mu \ne {\mu }_0$):

• $P(\overline{X}\le k)$ als $k<{\mu }_0$
• $P(\overline{X}\ge k)$ als $k>{\mu }_0$

Is de overschrijdingskans kleiner dan of gelijk aan $\frac{1}{2}\alpha$, dan verwerp je $H_0$: het resultaat wijkt significant af. Ligt het steekproefgemiddelde normaal verdeeld, dan heet dit een normale toets.

	beslissing: $H_0$ niet verwerpen	beslissing: $H_0$ verwerpen
$H_0$ is waar	juiste beslissing	fout van de eerste soort (kans $\alpha$)
$H_1$ is waar	fout van de tweede soort	juiste beslissing

Data-snooping. De hypothesen en $\alpha$ leg je vast vóór je de steekproef bekijkt. Achteraf $\alpha$ kiezen zodat het resultaat “past” mag niet.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken de kans dat het gemiddelde ten onrechte als afwijkend wordt beschouwd.” (diagnostische toets 6a, opgave 39a).
• “Stel dat het gemiddelde in werkelijkheid 2150 kg is. Bereken de kans dat men concludeert dat het gemiddelde niet afwijkend is.” (diagnostische toets 6b).
• “Geef H₀ en H₁. Bereken g_l en g_r in één decimaal nauwkeurig. Welke conclusie trekt de fabrikant?” (opgave 41).
• “Wijkt het steekproefgemiddelde significant af van 35 000?” (opgave 42, 43).

Uitgewerkt voorbeeld

Glasbak (vergelijk H14 diagnostische toets 6)

$X$ = hoeveelheid glas per week, normaal verdeeld met ${\mu }_X=2200$ kg en ${\sigma }_X=250$ kg. Men weegt 20 weken lang. Het gemiddelde geldt als afwijkend als $\overline{X}\le 2100$ of $\overline{X}\ge 2300$.

a Kans dat het gemiddelde ten onrechte als afwijkend wordt beschouwd:

1. $\overline{X}$ is normaal verdeeld met ${\mu }_{\overline{X}}=2200$ en ${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{250}{\sqrt{20}}$.
2. Ten onrechte: $H_0$ is waar, dus reken met $\mu =2200$.
3. $P(\overline{X}\le 2100\vee \overline{X}\ge 2300)=2\cdot P(\overline{X}\le 2100)=2\cdot \text{normalcdf}\left(-10^{99},2100,2200,\frac{250}{\sqrt{20}}\right)\approx$ 0,074

b In werkelijkheid is $\mu =2150$. Kans dat men het gemiddelde niet afwijkend noemt:

1. Reken nu met ${\mu }_{\overline{X}}=2150$ en dezelfde ${\sigma }_{\overline{X}}$.
2. $P(2100<\overline{X}<2300)=\text{normalcdf}\left(2100,2300,2150,\frac{250}{\sqrt{20}}\right)\approx$ 0,811

Dat is een fout van de tweede soort: grote kans dat de afwijking niet opvalt. Controle met scipy: 0,0736 en 0,8108 ✓

Beslissingsvoorschrift (vergelijk H14 opgave 40)

${\mu }_X=600$, ${\sigma }_X=4$, steekproef van 100 buizen, $H_0:{\mu }_X=600$, $H_1:{\mu }_X\ne 600$, $\alpha =0,10$.

1. ${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{4}{\sqrt{100}}=0,4$; links en rechts elk $\frac{1}{2}\cdot 0,10=0,05$.
2. $g_l=\text{invNorm}(0.05,600,0.4)\approx 599,34$ en $g_r=\text{invNorm}(0.95,600,0.4)\approx 600,66$.
3. Verwerp $H_0$ als $\overline{X}\le 599,34$ of $\overline{X}\ge 600,66$.
4. Steekproefgemiddelde 601,8 mm is groter dan $g_r$: verwerp $H_0$, de machine wordt bijgesteld.

Valkuilen

• ${\sigma }_X$ gebruiken in plaats van ${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{{\sigma }_X}{\sqrt{n}}$.
• Bij een tweezijdige toets de overschrijdingskans met $\alpha$ vergelijken in plaats van met $\frac{1}{2}\alpha$.
• Bij “ten onrechte” met de werkelijke $\mu$ rekenen. Ten onrechte verwerpen betekent: $H_0$ is waar.
• Een grens gewoon afronden. Rond $g_l$ naar beneden en $g_r$ naar boven af: het boek maakt van $g_l=597,939\dots$ de waarde 597,93, want $P(\overline{X}\le 597,94)\approx 0,00501>\frac{1}{2}\alpha$ en dat mag niet (blz. 81).
• Geen conclusie in de context geven. Het antwoord eindigt met wat de fabrikant of de onderzoeker besluit.

Test jezelf

${\mu }_X=58$, ${\sigma }_X=2$, $n=10$, $\alpha =0,05$, tweezijdig. Stel het beslissingsvoorschrift op.

${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$. $g_l=\text{invNorm}(0.025,58,\frac{2}{\sqrt{10}})\approx 56,76$ en $g_r=\text{invNorm}(0.975,58,\frac{2}{\sqrt{10}})\approx 59,24$. Verwerp $H_0$ als $\overline{X}\le 56,7$ of $\overline{X}\ge 59,3$ (afronden naar buiten).

Zelfde situatie, het steekproefgemiddelde is 56,6. Wijkt dit significant af?

Overschrijdingskans $P(\overline{X}\le 56,6)=\text{normalcdf}(-10^{99},56.6,58,\frac{2}{\sqrt{10}})\approx 0,013<\frac{1}{2}\alpha =0,025$. Ja, verwerp $H_0$.

Wat is een fout van de tweede soort?

$H_1$ is waar (het gemiddelde is echt veranderd), maar je verwerpt $H_0$ niet. Die kans kun je niet vooraf berekenen, omdat je de werkelijke $\mu$ niet kent.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave 39 · uitwerking: ten onrechte bijstellen en niet bijstellen
• H14 opgave 41–O42 · uitwerking: beslissingsvoorschrift en overschrijdingskans
• H14 opgave 44–A45 · uitwerking: significant afwijken, verschillende $\alpha$
• H14 diagnostische toets 6 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 21 · uitwerking: IQ en bijziendheid

Bronnen

• Voorkennis Theorie A: De wortel-n-wet (blz. 50)
• §14.3 Theorie A: Beslissingsvoorschrift (blz. 78), met Voorbeeld (blz. 79)
• §14.3 Theorie B: Het significantieniveau (blz. 80–81)
• Informatief: Het significantieniveau (blz. 82)
• §14.3 Theorie C: Overschrijdingskans (blz. 83), met Voorbeeld en Informatief Data-snooping (blz. 84)
• Informatief: Fouten van de eerste en tweede soort (blz. 85)
• Terugblik §14.3 (blz. 86)
• Diagnostische toets 6 (blz. 103)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Normale verdeling
• Som en verschil van toevalsvariabelen (wortel-n-wet)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Eenzijdig en tweezijdig toetsen
• Binomiale toetsen