Normale verdeling

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 12. Kernvaardigheid voor heel H12 en H14: “Bereken μ bij de gegeven oppervlakte”, “Bereken σ”, “Bereken a in één decimaal” (diagnostische toets 4–6). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• $E(X)$ en ${\sigma }_X$ van een discrete toevalsvariabele berekenen met 1-Var Stats.
• Oppervlakten berekenen met normalcdf.
• Een grens berekenen met invNorm (altijd de oppervlakte links).
• $\mu$ of $\sigma$ berekenen met intersect.

De kern

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}\text{top bij }x=\mu ,\text{ buigpunten bij }x=\mu \pm \sigma$

Onbekend	GR-notatie (uitwerkingen)
oppervlakte	normalcdf$(l,r,\mu ,\sigma )$, met $-10^{99}$ of $10^{99}$ als er geen grens is
grens $a$	$a=$ invNorm(opp links, $\mu$, $\sigma$)
$\mu$	$y_1=$ normalcdf$(l,r,x,\sigma )$, $y_2=$ opp, intersect
$\sigma$	$y_1=$ normalcdf$(l,r,\mu ,x)$, $y_2=$ opp, intersect

Symmetrisch gebied met oppervlakte $p$ rond $\mu$: links ervan ligt $\frac{1}{2}(1-p)$.

Afspraak G&R: rond een grens af op één decimaal meer dan de gegeven $\sigma$.

Casio: bij NormCD en InvN komt $\sigma$ vóór $\mu$.

Zo wordt het gevraagd

• “Het rode gebied is symmetrisch. Bereken a.” (diagnostische toets 5a).
• “Bereken μ bij de gegeven oppervlakte.” (diagnostische toets 5b), “Bereken σ.” (5c).
• “De oppervlakte tussen 230 en 260 wordt door de lijn bij a in twee gelijke stukken verdeeld. Bereken a.” (diagnostische toets 6).

Uitgewerkt voorbeeld

Grens, gemiddelde en standaardafwijking (vergelijk H12 diagnostische toets 5)

a $\mu =158$, $\sigma =12$, symmetrisch gebied met oppervlakte 0,75. Links van $a$ ligt $\frac{1}{2}(1-0,75)=0,125$. $a=$ invNorm$(0.125,158,12)\approx 144,2$

b $\sigma =16$, oppervlakte rechts van 112 is 0,71. $y_1=$ normalcdf$(112,10^{99},x,16)$ en $y_2=0,71$. Intersect: $\mu \approx 121$.

c $\mu =18$, oppervlakte tussen 14 en 22 is 0,74. $y_1=$ normalcdf$(14,22,18,x)$ en $y_2=0,74$. Intersect: $\sigma \approx 3,55$.

Controle met Python (scipy): 144,196; 120,85; 3,551 ✓

Valkuilen

• Bij invNorm de oppervlakte rechts invullen.
• Bij een symmetrisch gebied $1-p$ niet halveren.
• Geen schets maken, waardoor je het verkeerde gebied berekent.
• Bij de Casio $\mu$ en $\sigma$ omwisselen.

Test jezelf

$X$ is normaal verdeeld met $\mu =180$ en $\sigma =12$. Bereken $P(170<X<185)$.

normalcdf$(170,185,180,12)\approx 0,459$.

$\mu =180$, $\sigma =4$. Rechts van $c$ ligt 0,15. Bereken $c$.

$c=$ invNorm$(0.85,180,4)\approx 184,1$.

Waar liggen de buigpunten van de normaalkromme met $\mu =30$ en $\sigma =5$?

Bij $x=25$ en $x=35$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H12 opgave 19 · uitwerking: gemiddelde en standaardafwijking uit een tabel
• H12 opgave 23–A24 · uitwerking: oppervlakten met normalcdf
• H12 opgave 28 · uitwerking: grenzen met invNorm
• H12 opgave 30–32 · uitwerking: $\mu$ en $\sigma$ berekenen
• H12 diagnostische toets 4 · uitwerking: discrete verdeling

Bronnen

• §12.2 Theorie A–B: Standaardafwijking (blz. 135–136)
• §12.2 Theorie C: De kansdichtheid van de normale verdeling (blz. 138)
• §12.2 Theorie D: De notatie normalcdf (blz. 140)
• §12.2 Theorie E: Grens, gemiddelde en standaardafwijking (blz. 142)
• Terugblik §12.2 (blz. 145)
• Diagnostische toets 4–6 (blz. 170–171)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Kansdichtheid en verdelingsfunctie
• Buigpunten

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Toepassingen van de normale verdeling
• Som en verschil van toevalsvariabelen