Stelling van de constante hoek

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 7. Samen met Thales en de koordenvierhoek de basis van de cirkelbewijzen: “Bewijs dat AP = AQ” (diagnostische toets 7).

Wat moet je kunnen?

• Gelijke omtrekshoeken herkennen (op dezelfde boog, aan dezelfde kant).
• De stelling van de omtrekshoek gebruiken: omtrekshoek $=\frac{1}{2}$ middelpuntshoek.
• Met de omgekeerde stelling bewijzen dat vier punten op één cirkel liggen.

De kern

Stelling	Inhoud
constante hoek	beweegt $C$ over de cirkelboog $AB$, dan verandert $\angle ACB$ niet
omgekeerde constante hoek	ligt $D$ aan dezelfde kant van $AB$ als $C$ en $\angle ADB=\angle ACB$, dan liggen $C$ en $D$ op dezelfde cirkelboog $AB$
gevolg	als in vierhoek $ABCD$ geldt $\angle ADB=\angle ACB$, dan is $ABCD$ een koordenvierhoek
omtrekshoek	$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AMB$ ($M$ middelpunt)

Bewijsidee (opgave 24): neem $E$ op de andere boog. Dan $\angle ACB+\angle AEB=180°$ en $\angle ADB+\angle AEB=180°$ (koordenvierhoek), dus $\angle ACB=\angle ADB$.

In de uitwerkingen staat als reden “(constante hoek)” of “(omtrekshoek)”.

Zo wordt het gevraagd

• “Twee cirkels met gelijke straal snijden elkaar in A en B. De lijn l door B snijdt de cirkels in P en Q. Bewijs dat AP = AQ.” (diagnostische toets 7).
• “Bewijs dat ∠ECD + ∠EFC = 90°.” (diagnostische toets 6a, met constante hoek en Thales).
• Trisectie van Archimedes: “Bewijs dat ∠CAG = 4∠E.” (gemengde opgave 25).

Uitgewerkt voorbeeld

Gelijke omtrekshoeken (vergelijk H7 diagnostische toets 7)

Twee cirkels met middelpunten $M$ en $N$ en gelijke straal snijden elkaar in $A$ en $B$. Een lijn door $B$ snijdt ze in $P$ en $Q$. Bewijs dat $AP=AQ$.

1. $MA=NA$ en $MB=NB$ (gelijke stralen), $AB=AB$: $△MAB\cong △NAB$ (ZZZ), dus $\angle AMB=\angle ANB$.
2. $\angle P_1=\frac{1}{2}\angle AMB$ (omtrekshoek) en $\angle Q_1=\frac{1}{2}\angle ANB$ (omtrekshoek).
3. Dus $\angle P_1=\angle Q_1$: driehoek $PAQ$ is gelijkbenig, en $AP=AQ$. ✓

Valkuilen

• Omtrekshoeken vergelijken die aan verschillende kanten van de koorde liggen. Die zijn niet gelijk, maar vullen elkaar aan tot $180°$.
• De omtrekshoek gelijk nemen aan de middelpuntshoek in plaats van de helft.
• Bij de omkering vergeten te vermelden dat de punten aan dezelfde kant van $AB$ liggen.

Test jezelf

De middelpuntshoek op boog $AB$ is $140°$. Hoe groot is een omtrekshoek op dezelfde boog?

$70°$.

In vierhoek $ABCD$ is $\angle ADB=\angle ACB$. Wat kun je concluderen?

$ABCD$ is een koordenvierhoek (omgekeerde stelling van de constante hoek).

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H7 opgave O24 · uitwerking: de stelling zelf bewijzen
• H7 opgave 25 · uitwerking: de omgekeerde stelling
• H7 opgave 28–30 · uitwerking: toepassen
• H7 diagnostische toets 6a · uitwerking: constante hoek en Thales samen
• Gemengde opgave 25 · uitwerking: trisectie van Archimedes

Bronnen

• §7.2 Theorie C: Stelling van de constante hoek (blz. 111)
• Terugblik §7.2: constante hoek en omtrekshoek (blz. 116)
• Diagnostische toets 6–7 (blz. 135)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Thales en koordenvierhoeken
• Meetkundige stellingen cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)