Thales en koordenvierhoeken

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 7. De meest gevraagde bewijsvorm in §7.2: “Bewijs dat ABFE een koordenvierhoek is.” (diagnostische toets 6b, gemengde opgave 23, 24, 27).

Wat moet je kunnen?

• Thales en de omgekeerde stelling van Thales gebruiken.
• De koordenvierhoekstelling gebruiken om hoeken te berekenen of aan elkaar gelijk te stellen.
• Met de omgekeerde koordenvierhoekstelling bewijzen dat een vierhoek een koordenvierhoek is.

De kern

Stelling	Als …	dan …
Thales	$C$ ligt op de cirkel met middellijn $AB$	$\angle ACB=90°$
omgekeerde Thales	$\angle C=90°$ in driehoek $ABC$	$C$ ligt op de cirkel met middellijn $AB$
koordenvierhoekstelling	$ABCD$ is een koordenvierhoek	$\angle A+\angle C=180°$ (en $\angle B+\angle D=180°$)
omgekeerde koordenvierhoekstelling	$\angle A+\angle C=180°$ in vierhoek $ABCD$	$ABCD$ is een koordenvierhoek

Definitie. Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij een cirkel bestaat die door de vier hoekpunten gaat.

Handige variant: bij een koordenvierhoek is een buitenhoek gelijk aan de overstaande binnenhoek (want beide vormen $180°$ met dezelfde hoek).

Aanpak “bewijs dat … een koordenvierhoek is”

1. Zoek een paar overstaande hoeken.
2. Druk ze uit in bekende hoeken (gestrekte hoek, hoekensom, Thales, constante hoek).
3. Laat zien dat de som $180°$ is en noem de omgekeerde koordenvierhoekstelling (de uitwerkingen schrijven “(koordenvierhoek)”).

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat ∠ECD + ∠EFC = 90°. Bewijs dat ABFE een koordenvierhoek is.” (diagnostische toets 6).
• “Bewijs dat ∠CPQ + ∠CQP = ∠A.” (diagnostische toets 5).
• “Bewijs dat ABQP / MNCD / PACQ een koordenvierhoek is.” (gemengde opgave 23, 24, 27).

Uitgewerkt voorbeeld

Koordenvierhoek bewijzen (vergelijk H7 diagnostische toets 6b)

$CD$ is hoogtelijn van driehoek $ABC$. De cirkel met middellijn $CD$ snijdt $AC$ in $E$ en $BC$ in $F$. Gegeven (uit 6a): $\angle F_1+\angle C_1=90°$, met $\angle F_1=\angle EFC$ en $\angle C_1=\angle ECD$. Bewijs dat $ABFE$ een koordenvierhoek is.

1. In driehoek $ADC$: $\angle A+\angle C_1+90°=180°$ (hoekensom), dus $\angle A+\angle C_1=90°$.
2. Met 6a volgt $\angle A=\angle F_1$.
3. $\angle F_1+\angle F_2=180°$ (gestrekte hoek), dus $\angle A+\angle F_2=180°$.
4. $\angle A$ en $\angle F_2=\angle EFB$ zijn overstaande hoeken van $ABFE$: het is een koordenvierhoek (omgekeerde koordenvierhoekstelling). ✓

Valkuilen

• De koordenvierhoekstelling gebruiken om te bewijzen dat iets een koordenvierhoek is. Dan heb je de omkering nodig.
• Twee aanliggende hoeken optellen in plaats van overstaande.
• Bij Thales vergeten dat $AB$ een middellijn moet zijn (door het middelpunt).

Test jezelf

In koordenvierhoek $ABCD$ is $\angle A=72°$. Hoe groot is $\angle C$?

$180°-72°=108°$.

$\angle APB=90°$ en $\angle AQB=90°$. Wat weet je over $A$, $B$, $P$ en $Q$?

Volgens de omgekeerde stelling van Thales liggen $P$ en $Q$ allebei op de cirkel met middellijn $AB$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H7 opgave 14 · uitwerking: bewijs van de omgekeerde stelling van Thales
• H7 opgave A22 · uitwerking: bissectrices sluiten een koordenvierhoek in
• H7 diagnostische toets 6a · uitwerking: het eerste deel van het voorbeeld
• Gemengde opgave 23 · uitwerking: trapezium en cirkel
• Gemengde opgave 27 · uitwerking: $PACQ$

Bronnen

• §7.2 opgave 13 en Theorie A: De stelling van Thales (blz. 107)
• §7.2 Theorie B: Koordenvierhoeken (blz. 109–110)
• Terugblik §7.2 (blz. 116)
• Diagnostische toets 5–7 (blz. 134–135)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Meetkundige stellingen cirkel
• Gelijkvormige en congruente driehoeken

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Stelling van de constante hoek