Meetkundige stellingen cirkel

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, als kern van opgaven met cirkels en raakcirkels (vaak 2 vragen, 7–11p samen).

Wat moet je kunnen?

• De parate stellingen herkennen en met hun naam gebruiken in een redenering of berekening.
• Bij raakcirkels de goede rechthoekige driehoek zien en Pythagoras toepassen.
• Middelloodlijn en bissectrice gebruiken als verzameling punten met gelijke afstand.

De kern

Stelling	Zegt
Thales	een driehoek met een middellijn als zijde en de derde hoek op de cirkel is rechthoekig
omgekeerd	het midden van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is het middelpunt van de omgeschreven cirkel
raaklijn	een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
raaklijnstukken	vanuit één punt zijn de twee raaklijnstukken gelijk
rakende cirkels	het raakpunt ligt op de lijn door de middelpunten; afstand middelpunten $=r_1+r_2$ (uitwendig) of $|r_1-r_2|$ (inwendig)
middelloodlijn van $AB$	elk punt erop heeft gelijke afstand tot $A$ en $B$
bissectrice	elk punt erop heeft gelijke afstand tot beide lijnen

• Noem in je antwoord welke stelling je gebruikt (“raaklijn ⊥ straal”, “Thales”).
• Zie Bewijzen in de vlakke meetkunde en Raaklijn aan een cirkel.

Zo wordt het gevraagd

• Raakcirkels met Pythagoras in driehoek $MSP$ (2025-1 vraag 6–7, 3p + 6p).
• Cirkels met raaklijnen en gelijkvormige driehoeken (2026-2 vraag 15–16).
• “D ligt op de cirkel, dus hoek FDE = 90°” (Thales, in het correctievoorschrift van 2023-1 vraag 16).
• De middelloodlijn van $OP$ gebruiken om het middelpunt te vinden (2024-2 vraag 12, alternatieve methode).

Uitgewerkt voorbeeld

Lengte van een raaklijnstuk

Cirkel met middelpunt $M$ en straal 3; punt $P$ ligt op afstand 5 van $M$. $PR$ raakt de cirkel in $R$. Bereken $PR$.

1. Raaklijn ⊥ straal, dus $\angle MRP=90°$.
2. Pythagoras in $△MRP$: $PR=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=$ 4.

Twee rakende cirkels

Cirkel $c_1$ (middelpunt $M_1$, straal 4) en $c_2$ (middelpunt $M_2$, straal 1) raken elkaar uitwendig en raken allebei de $x$-as. Bereken de horizontale afstand tussen $M_1$ en $M_2$.

1. $M_1{M}_2=4+1=5$ (rakende cirkels).
2. Hoogteverschil: $4-1=3$ (beide raken de $x$-as, dus hoogte = straal).
3. Horizontaal: $\sqrt{5^2-3^2}=$ 4.

Valkuilen

• Een rechte hoek aannemen zonder stelling.
• Bij rakende cirkels $r_1-r_2$ gebruiken terwijl ze elkaar uitwendig raken (of andersom).
• De stelling niet noemen, waardoor de redenering onvolledig is.

Test jezelf

$AB$ is een middellijn van een cirkel en $C$ ligt op de cirkel. Hoe groot is $\angle ACB$?

90° (Thales).

Vanuit $P$ gaan twee raaklijnen naar een cirkel, met raakpunten $A$ en $B$. $PA=7$. Hoe lang is $PB$?

7 (gelijke raaklijnstukken).

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 6–7: raakcirkels met Pythagoras (3p + 6p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 15–16: cirkels, raaklijnen en een rechthoek (4p + 5p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 16: Thales in het correctievoorschrift (6p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 17: drie cirkels in een rechthoek (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 15 (4p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, cirkels c1/c2, raaklijnen k en l, gelijkvormige driehoeken OBM en OEC.
  • Vraag 16 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, zelfde cirkelconfiguratie, r1=4, M(8,0), rechthoek EFDC.
  • Frasering: “Bewijs dat inderdaad CE = DF = ½r2.” / “Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek EFDC.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Twee cirkels” (9 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 6 (3p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, cirkels c1–c4 die elkaar raken, stelling van Pythagoras in driehoek MSP toegepast op raakcirkels.
  • Vraag 7 (6p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, zelfde circelconfiguratie, Pythagoras in driehoek NSP.
  • Frasering: “Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.” / “Bereken exact de waarde van r.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Cirkels in een cirkel” (9 scorepunten samen), én gebruikt de uitwerkbijlage.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 11 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel c met middellijn AB, lijn k door O.
  • Vraag 12 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, gelijkvormige driehoeken BRO en BSA, stelling van Pythagoras.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Halve cirkel” (9 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — de middelloodlijn van lijnstuk OP gebruikt om middelpunt M te vinden (elk punt op de middelloodlijn heeft gelijke afstand tot O en P), en MO=MP=MS=r (gelijke stralen).
  • Komt 1× voor, als onderdeel van de oplosroutes.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — Z-hoeken (PEF en EPC) gebruikt bij de bissectrice-redenering.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — “D ligt op de cirkel, dus geldt hoek FDE = 90°” (stelling van Thales: EF is middellijn van cirkel c, dus de hoek in D, op de cirkel, is recht).
  • Komt 2× voor, in vraag 16 een kernstap van de raakvoorwaarde (Thales), in vraag 15 ondersteunend bij een alternatieve bewijsroute.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 17 (5p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, drie cirkels met gelijke straal r in rechthoek ABCD, raakcirkels (onderste raakt aan alle zijden van driehoek ABD, bovenste aan driehoek BCD, middelste raakt aan beide), MS = 2r omdat MN door de raakpunten van de cirkels gaat.
  • Frasering: “Onderzoek of de oppervlakte van vierhoek MFNG groter dan, kleiner dan of gelijk aan de oppervlakte van een van de cirkels is.” Gebruikt de figuur (bijlage) expliciet.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p), dominant thema van de opgave “Rechthoek met drie cirkels”.
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Hoek BMD is 90°, dus M ligt op de cirkel met middellijn DB” (stelling van Thales, hoek in een halve cirkel).
  • Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van de stelling van Thales: “Als DP en MP loodrecht op elkaar staan, dan ligt P op de cirkel met middellijn MD.”
  • Komt 1× voor, één van de vier gelijkwaardige oplosmethoden in het correctievoorschrift.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 5 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — cirkel met middellijn BD, S ligt op de cirkel, dus hoek BSD=90° (stelling van Thales).
  • Komt 1× voor, als alternatieve, meetkundige bewijsroute naast de vector-/coördinatenroute.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M en straal 1 die lijn k raakt in punt A, “hoek OAM is dus 90°” (raaklijn ⊥ straal).
  • Vraag 16 (5p): in vraagstelling — zelfde cirkelconfiguratie, punt C op de cirkel met MC bissectrice van hoek AMB.
  • Frasering: “raakt … lijn k. Punt A is het raakpunt”. Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Driehoek in cirkel” (10 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “∠APB=90°, dus P ligt op de cirkel met middellijn AB” (stelling van Thales).
  • Komt 1× voor, als één van meerdere gelijkwaardige oplosroutes binnen dezelfde vraag.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 6 (5p): in correctievoorschrift (alternatieve methode) — Pythagoras in driehoek APM, of herkennen van een 3-4-5-driehoek, om AP (=BP) te bepalen.
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. Cirkel d raakt cirkel c: MN=r+10 (afstand middelpunten = som van de stralen bij elkaar rakende cirkels), gecombineerd met Pythagoras (MP=8, NP=14−r) om de straal op te lossen. Frasering: “Bereken exact de straal van cirkel d. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.”
  • Komt 2× voor dit tijdvak (10 scorepunten betrokken), dominant thema van opgave “Zwaartepunt en rakende cirkels”, gebruikt ook de uitwerkbijlage.
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 8 (5p): in correctievoorschrift — “Omdat ∠PBC=90° is PC een middellijn van de cirkel (Thales).”
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Omdat ∠PQC=90° is PC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C.”
  • Vraag 16 (3p): impliciet — redenering met cirkelsectoren BMF en GMA (kwart cirkel elk).
  • Komt 3× terug; de stelling van Thales is dit tijdvak de terugkerende meetkundige truc (2× expliciet genoemd in het correctievoorschrift).

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bewijzen in de vlakke meetkunde
• Raaklijn aan een cirkel