Linealiseren van verbanden

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 7 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal met een uitwerkbijlage: assen kiezen, een rechte lijn tekenen en uit de helling een constante bepalen (4–5p).

Wat moet je kunnen?

• Bij een gegeven formule bepalen wat je tegen wat moet uitzetten om een rechte lijn te krijgen.
• De constante bepalen uit de helling (of het snijpunt met de verticale as).
• Een log-log-diagram gebruiken voor een machtsverband.
• Uitleggen waarom een rechte lijn door alle meetpunten nauwkeuriger is dan één meetpunt.

De kern

Verband	Zet uit	Helling
$y=a{x}^2$	$y$ tegen $x^2$	$a$
$y=\frac{a}{x}$	$y$ tegen $\frac{1}{x}$	$a$
$y=a\sqrt{x}$	$y$ tegen $\sqrt{x}$	$a$
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}$	$T^2$ tegen $m$	$\frac{4{\pi }^2}{C}$
$y=b+\frac{a}{x^2}$	$y$ tegen $\frac{1}{x^2}$	$a$ (snijpunt $b$)
$y=C\cdot x^a$	$\log y$ tegen $\log x$	$a$ (snijpunt $\log C$)

Stappen:

1. Herschrijf de formule tot de vorm $y=\text{helling}\cdot x+b$.
2. Kies de assen en reken de meetwaarden om.
3. Teken de beste rechte lijn (niet door de punten verbinden).
4. Bepaal de helling met twee ver uit elkaar liggende punten op de lijn.

Zo wordt het gevraagd

• Coördinatentransformatie van $E_f=E_{\text{gap}}+\frac{C}{R^2}$ naar een rechte lijn (2022-1 vraag 10, 4p).
• Aantonen dat $\frac{P}{A}$ tegen $T^4$ een rechte lijn door de oorsprong geeft met helling $\sigma$ (2022-1 vraag 13, 5p).
• Constanten $a$ en $C$ uit helling en snijpunt in een $\log (I_{\text{max}})$–$\log (T)$-diagram (2026-1 vraag 13, 4p).
• Assen benoemen ($f$ tegen $n^2$) en de constante uit de helling bepalen (2021-1 vraag 12, 5p).

Uitgewerkt voorbeeld

Veerconstante uit T² tegen m (examenstijl, vergelijk 2021-1 vraag 12)

Voor een massa-veersysteem geldt $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}$. De grafiek van $T^2$ tegen $m$ is een rechte lijn met helling 0,16 s²/kg.

1. Kwadrateer: $T^2=\frac{4{\pi }^2}{C}\cdot m$, dus helling $=\frac{4{\pi }^2}{C}$
2. $C=\frac{4{\pi }^2}{0,16}=$ $2,5\cdot 10^2$ N/m

Machtsverband in een log-log-diagram (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 13)

De rechte lijn in een $\log y$–$\log x$-diagram gaat door $(\log 2,\log 25)$ en $(\log 8,\log 400)$. Helling $a=\frac{\log 400-\log 25}{\log 8-\log 2}=\frac{\log 16}{\log 4}=$ 2, dus $y\propto x^2$.

Valkuilen

• De helling bepalen met twee meetpunten in plaats van twee punten op de getekende lijn.
• Vergeten de eenheid van de helling te geven (hier s²/kg).
• De formule niet eerst herschrijven, waardoor je de verkeerde grootheden uitzet.
• Bij een log-log-diagram de assen als gewone schaal aflezen.

Test jezelf

Voor een slinger geldt $T=2\pi \sqrt{\ell /g}$. Wat zet je uit om $g$ te bepalen?

$T^2$ tegen $\ell$: de helling is $\frac{4{\pi }^2}{g}$.

Waarom is een lijn door alle meetpunten beter dan één meetpunt?

Toevallige meetfouten middelen uit.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2022 tijdvak 1, vraag 10 en 13: transformatie en Stefan-Boltzmann (4p + 5p)
• 2021 tijdvak 1, vraag 12: $f$ tegen $n^2$ (5p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 13: log-log-diagram (4p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 20: $(f,1/\lambda )$-diagram met grenslijnen (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 7 van de 8 onderzochte examenjaren (2018-2026, 2020: geen examen gehouden) — 87,5%.

• 2026 tijdvak 1: vraag 13, 15
• 2024 tijdvak 2: vraag 26, 27
• 2023 tijdvak 1: vraag 20
• 2022 tijdvak 3: vraag 21
• 2022 tijdvak 1: vraag 10, 13
• 2021 tijdvak 1: vraag 12
• 2019 tijdvak 2: vraag 20
• 2018 tijdvak 1: vraag 13, 14

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen: vaardigheid)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Wet van Stefan-Boltzmann
• Massa-veersysteem