Inverse functie

Prioriteit: 🟠 Midden

In 5 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als “bewijs dat f en g elkaars inverse zijn” (3p) of als onderdeel van een grotere vraag.

Wat moet je kunnen?

• Het voorschrift van de inverse opstellen.
• Bewijzen dat twee functies elkaars inverse zijn.
• De grafiek van de inverse gebruiken als spiegeling in $y=x$ (punten, asymptoten, domein).

De kern

Eigenschap
bestaat als	$f$ is strikt stijgend of strikt dalend op het domein
opstellen	los $y=f(x)$ op naar $x$, verwissel dan $x$ en $y$
bewijzen	laat zien dat $g(f(x))=x$ (op het domein van $f$)
grafiek	spiegeling in $y=x$: punt $(a,b)$ wordt $(b,a)$
domein/bereik	$D_{f^{-1}}=B_f$ en $B_{f^{-1}}=D_f$
asymptoten	horizontaal wordt verticaal en omgekeerd

• $e^x$ en $\ln x$ zijn elkaars inverse (zie Logaritmische functie en Exponentiële functie).
• Om de $y$-as wentelen gaat met de inverse (zie Omwentelingslichaam).

Zo wordt het gevraagd

• “De functies fp en gp zijn elkaars inverse. Bewijs dit.” met $f_p(x)=p\ln x$ en $g_p(x)=e^{x/p}$ (2022-1 vraag 1).
• Bewijzen dat $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+1$ en $g$ elkaars inverse zijn (2025-1 vraag 8).
• Inverse van $f(x)=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$ afleiden (2022-2 vraag 10).
• Asymptoten van de inverse van $f(x)=e^{1/x}$ (2021-2 vraag 13).

Uitgewerkt voorbeeld

Inverse opstellen (examenstijl, vergelijk 2022-2 vraag 10)

$f(x)=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$

1. $y=\frac{4}{\sqrt{x+1}}\Rightarrow \sqrt{x+1}=\frac{4}{y}\Rightarrow x+1=\frac{16}{y^2}$
2. $x=\frac{16}{y^2}-1$
3. Verwissel: $f^{-1}(x)=\frac{16}{x^2}-1$ (voor $x>0$, het bereik van $f$)

Valkuilen

• Het domein van de inverse vergeten (hier $x>0$).
• $f^{-1}(x)$ verwarren met $\frac{1}{f(x)}$.
• Een inverse opstellen van een functie die niet overal stijgt of daalt.

Test jezelf

Geef de inverse van $f(x)=3+e^{2x}$.

$e^{2x}=y-3\Rightarrow x=\frac{1}{2}\ln (y-3)$, dus $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln (x-3)$ voor $x>3$.

$f$ heeft horizontale asymptoot $y=2$. Welke asymptoot heeft $f^{-1}$?

De verticale asymptoot $x=2$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2022 tijdvak 1, vraag 1: bewijs van inverse met parameter (3p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 8: bewijs dat f en g elkaars inverse zijn (3p)
• 2021 tijdvak 2, vraag 13: asymptoten van de inverse (3p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 16: spiegelen in $y=x$ (7p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2021, 2022, 2024, 2025 — 62,5%.

• 2025 tijdvak I
  • Vraag 8 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn” (f(x)=½x²+1, g(x)=√(2x²… let op: 2x−2, zie correctievoorschrift) via spiegelen in y=x of via g(f(x))=x.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “De functie g is de inverse functie van f.” Kortste verticale lijnstuk tussen f en g berekenen.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 16 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de grafiek van de inverse van fa (gestippeld)… De punten D, E en F zijn de beeldpunten van respectievelijk A, B en C bij spiegeling in de lijn y=x.” Spiegeling in y=x om de inverse te construeren.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (7p) — zwaarste vraag van dit tijdvak.
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, volledige vraag. f_p(x) = p·ln(x) en g_p(x) = e^(x/p) gegeven als elkaars inverse. Frasering: “De functies fp en gp zijn elkaars inverse. Bewijs dit.” Bewijs via het omkeren van de vergelijking (uit x = p·ln(y) volgt y = e
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p), opening van de opgave.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De functie g is de inverse functie van de functie f.” Met f(x)=4/√(x+1) wordt g(x)=16/x²−1 afgeleid.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van vraag 10 (5p).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “heeft de grafiek van de inverse functie van f ook twee asymptoten”, asymptoten van de inverse van f(x)=e^(1/x) bepalen.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 14 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = 2 + ∛(x+1)” voor f(x)=x³−6x²+12x−9, via herleiding of via spiegeling in y=x.
  • Vraag 15 (3p): in vraagstelling — de integraal voor het omwentelingslichaam wordt opgesteld met f_inv(x) i.p.v. f(x) (wentelen om de y-as via de inverse).
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, punt P op f en punt Q op f_inv, symmetrie in de lijn y=x wordt gebruikt in de alternatieve oplosroute.
  • Frasering: “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = …”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Een derdegraadsfunctie” (12 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Deze functie heeft een inverse functie f_inv. Er geldt: f_inv(x)=e^(2x). Bewijs dat inderdaad geldt f_inv(x)=e
  • Vraag 13 (4p): impliciet — g is een transformatie van f_inv uit vraag 12, gebruikt als uitgangspunt.
  • Komt 2× voor (7 scorepunten betrokken), v12 volledig kernonderdeel, v13 ondersteunend.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Exponentiële functie
• Logaritmische functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)