Samengestelde functies

Prioriteit: 🟠 Midden

In 4 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als opzet van een vraag: $h(x)=f(x)-g(x)$ of $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$.

Wat moet je kunnen?

• Een nieuwe functie opstellen als som, verschil, product of quotiënt van gegeven functies.
• Een ketting $f(g(x))$ opstellen en het domein bepalen.
• De structuur van een functie herkennen, zodat je weet welke regel je bij het differentiëren nodig hebt.

De kern

Combinatie	Voorschrift	Afgeleide via
som/verschil	$f(x)\pm g(x)$	Somregel en verschilregel
product	$f(x)\cdot g(x)$	Productregel
quotiënt	$\frac{f(x)}{g(x)}$	Quotiëntregel
ketting	$f(g(x))$	Kettingregel

• Bij de ketting $f(g(x))$ is $g$ de binnenste en $f$ de buitenste functie.
• Domein van $f(g(x))$: $x$ moet in het domein van $g$ liggen en $g(x)$ in het domein van $f$.
• $f(g(x))$ en $g(f(x))$ zijn meestal verschillend.

Zo wordt het gevraagd

• $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$ nadert een grenswaarde (2026-2 vraag 11).
• Verschilfunctie $h(x)=f(x)+3-g(x)$ en quotiëntfunctie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ (2023-2 vraag 5 en 9).
• $g_p(f_p(x))=x$ uitwerken om te bewijzen dat functies elkaars inverse zijn (2022-1 vraag 1).

Uitgewerkt voorbeeld

Ketting en domein

$f(x)=\sqrt{x}$ en $g(x)=2x+1$.

1. $f(g(x))=\sqrt{2x+1}$, domein: $2x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -\frac{1}{2}$
2. $g(f(x))=2\sqrt{x}+1$, domein: $x\ge 0$
3. De twee zijn verschillend: de volgorde doet ertoe.

Valkuilen

• $f(g(x))$ verwarren met $f(x)\cdot g(x)$.
• Het domein van de binnenste functie vergeten.
• Een ketting differentiëren zonder de afgeleide van de binnenste functie.

Test jezelf

$f(x)=\ln x$ en $g(x)=x^2-4$. Geef $f(g(x))$ en het domein.

$\ln (x^2-4)$; $x^2-4>0$, dus $x<-2$ of $x>2$.

Welke binnenste en buitenste functie heeft $h(x)=e^{\sin x}$?

Binnenste $\sin x$, buitenste $e^u$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2023 tijdvak 2, vraag 5 en 9: verschil- en quotiëntfunctie (4p + 3p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 11: quotiëntfunctie en grenswaarde (3p)
• 2022 tijdvak 1, vraag 1: ketting in een inverse-bewijs (3p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 4 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2021, 2022, 2023, 2026 — 50%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 11 (3p): in vraagstelling — h(x) = g(x)/f(x), quotiëntfunctie van twee gegeven functies.
  • Komt 1× voor, ondersteunend aan de opzet van de vraag (geen losse scorepunten voor het begrip zelf).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in vraagstelling en correctievoorschrift — h(x) = f(x)+3−g(x), een verschilfunctie van twee gegeven functies; extremen van h worden bepaald om de amplitude/factor p te vinden.
  • Vraag 9 (3p): zichtbaar in vraagstelling — h(x) = f(x)/g(x), een quotiëntfunctie; de perforatie van h wordt onderzocht.
  • Komt 2× voor (7 scorepunten samen), telkens als opzet van een grotere opgave (niet los bevraagd, wel noodzakelijk om de functie h te doorgronden).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — g_p(f_p(x)) = x en f_p(g_p(x)) = x expliciet uitgewerkt als bewijs dat f_p en g_p elkaars inverse zijn.
  • Komt 1× voor, als alternatieve (kortere) oplosroute, 2 van de 3 scorepunten in dat alternatief.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 12 (5p): impliciet — f_p(x) = (x³+4p)/x² is een quotiëntfunctie van twee machtsfuncties, waarvan de top bepaald moet worden.
  • Komt 1× voor, conceptuele basis onder de Quotiëntregel-toepassing (geen losse scorepunten specifiek voor het herkennen van de functiestructuur).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — g(x)=√(2x) is een samengestelde (ketting)functie van de wortelfunctie met inwendige functie 2x, kettingregel nodig voor g’(x).
  • Komt 1× voor, ondersteunend aan het bewijs van gelijke hellingen.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — ln(T/(T−1)) en ln(ln(T/(T−1))) zijn functies-van-functies; het differentiëren vereist het herkennen van de samenstelling (buitenfunctie ln, binnenfunctie T/(T−1) of ln(T/(T−1))).
  • Komt 1× voor, ondersteunend concept onder Kettingregel/Logaritmische functie (geen losse scorepunten specifiek voor “herkennen van de samenstelling”, wel noodzakelijke basis voor de rekenstappen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Transformaties van grafieken

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kettingregel
• Inverse functie