Omwentelingsoppervlakken

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Klein onderdeel aan het eind van H13 (§13.4 Theorie B, diagnostische toets 16, gemengde opgave 12).

Wat moet je kunnen?

• De vergelijking opstellen van het oppervlak dat ontstaat als een lijn, parabool, ellips of hyperbool om een coördinaatas wentelt.
• Het oppervlak benoemen: kegelvlak, omwentelingsparaboloïde, ellipsoïde, een- of tweebladige hyperboloïde.

De kern

Bij wentelen om de $z$-as is de doorsnede met het vlak $z=\lambda$ een cirkel met middelpunt $(0,0,\lambda )$. De straal is de afstand van het punt van de kromme tot de as.

1. Neem een punt $A$ van de kromme met parameter: bij $x=0\wedge z=y^2$ is dat $A(0,\lambda ,{\lambda }^2)$.
2. De cirkel door $A$ in het vlak $z={\lambda }^2$: $x^2+y^2={\lambda }^2\wedge z={\lambda }^2$.
3. Elimineer $\lambda$: $z=x^2+y^2$.

Vuistregel: de variabele die bij de as hoort blijft staan. De andere variabele $u$ in de vlakke vergelijking wordt vervangen: $u^2\to$ som van de kwadraten van de twee coördinaten loodrecht op de as.

Gewenteld	Om	Oppervlak
$x=0\wedge z=y^2$	$z$-as	$z=x^2+y^2$ (omwentelingsparaboloïde)
$x=0\wedge y^2+4z^2=16$	$y$-as	$4x^2+y^2+4z^2=16$ (ellipsoïde)
lijn $(0,\lambda ,2\lambda )$	$z$-as	$4x^2+4y^2-z^2=0$ (kegelvlak)

Valkuilen

• De verkeerde variabele vervangen: bij wentelen om de $y$-as blijft $y$ staan.
• Bij $x=0\wedge y^2-4z^2=4$ om de $z$-as ontstaat een eenbladige hyperboloïde, om de $y$-as een tweebladige.

Test jezelf

De hyperbool $y=0\wedge x^2-z^2=1$ wentelt om de $z$-as. Geef de vergelijking.

$z$ blijft, $x^2\to x^2+y^2$: $x^2+y^2-z^2=1$ (eenbladige hyperboloïde).

De parabool $x=0\wedge z=\frac{1}{2}{y}^2$ wentelt om de $z$-as. Geef de vergelijking.

$z=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{y}^2$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 61 en 62 · uitwerking: kegelvlak en paraboloïde
• H13 opgave 63 · uitwerking: ellipsoïde
• H13 diagnostische toets 16 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 12 · uitwerking: ellips en hyperbool wentelen

Bronnen

• §13.4 opgave 60 en Theorie B: Omwentelingsoppervlakken (blz. 42)
• §13.4 Voorbeeld: $z=y^2$ om de $z$-as (blz. 43)
• Informatief: Paraboloïden en ellipsoïden (blz. 44)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Omwentelingslichaam
• Vergelijking van een ellips
• Vergelijking van een hyperbool

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)