Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, en de rekenkern van bijna elke “bereken exact”-vraag: 3–5 keer per tijdvak.

Wat moet je kunnen?

• De standaardtypen exact oplossen en herkennen welk type je voor je hebt.
• Een lastige vergelijking herleiden of met een substitutie terugbrengen tot een kwadratische.
• Oplossingen controleren (domein, context, “voldoet niet”).

De kern

Type	Oplossing
$ax+b=c$	$x=\frac{c-b}{a}$
$a{x}^2+bx+c=0$	ontbinden of $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x^n=c$	$x=\sqrt[n]{c}$ (bij even $n$ ook $-\sqrt[n]{c}$)
$g^x=a$	$x={}^g\log a$
${}^g\log x=b$	$x=g^b$
$x^4+p{x}^2+q=0$	stel $u=x^2$
$e^{2x}+p{e}^x+q=0$	stel $u=e^x$
$A\cdot B=0$	$A=0$ of $B=0$

• Deel nooit door een uitdrukking met $x$ zonder te checken of die 0 kan zijn.
• Controleer bij $\ln$ en wortels het domein.

Zo wordt het gevraagd

• $x^4-30x^2+125=0$ exact oplossen (2025-1 vraag 2).
• $2p=\ln (9p)-\ln (3p)$ algebraïsch oplossen (2025-2 vraag 7).
• $\frac{25}{16}{x}^2=625$ geeft $x=20$ ($x=-20$ voldoet niet) (2026-1 vraag 1).
• Substitutie $p=\cos x$ in $5p^2-8p-3=0$ (2026-1 vraag 15).

Uitgewerkt voorbeeld

Substitutie (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 2)

$x^4-30x^2+125=0$

1. Stel $u=x^2$: $u^2-30u+125=0$
2. $u=\frac{30\pm \sqrt{900-500}}{2}=15\pm 10$, dus $u=25$ of $u=5$
3. $x^2=25$ of $x^2=5$: $x=\pm 5$ of $x=\pm \sqrt{5}$

Logaritmen (examenstijl, vergelijk 2025-2 vraag 7)

$2p=\ln (9p)-\ln (3p)$

1. $\ln (9p)-\ln (3p)=\ln \frac{9p}{3p}=\ln 3$
2. $2p=\ln 3\Rightarrow$ $p=\frac{1}{2}\ln 3$

Valkuilen

• Bij $x^2=c$ de negatieve oplossing vergeten (of juist niet laten vallen als de context dat eist).
• Door $x$ delen en zo de oplossing $x=0$ kwijtraken.
• Een oplossing buiten het domein van $\ln$ laten staan.

Test jezelf

Los op: $3^x=20$.

$x={}^3\log 20\approx 2,73$.

Los op: ${}^2\log x=5$.

$x=2^5=32$.

Los op: $x^3=4x$.

$x(x^2-4)=0$: $x=0$, $x=2$ of $x=-2$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 2 en 7: vierdegraads en kwadratisch exact (4p + 6p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 7 en 11: logaritmen, kwadraten exact (4p + 3p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 3, 5 en 11: herleiden en oplossen (6p + 4p + 4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — 25/16x²=625 oplossen, x=20 (x=−20 voldoet niet).
  • Vraag 3 (6p): kernonderdeel — vergelijking herleiden tot x²+4x−3=0 (of gelijkwaardig), oplossen voor xQ.
  • Vraag 5 (4p): kernonderdeel — vergelijking 2ln(2x)−2ln(x)=3/(4x) oplossen naar x.
  • Vraag 11 (4p): kernonderdeel — 4t−2t²=2t²−8t+6 oplossen naar t.
  • Vraag 15 (5p): kernonderdeel — substitutie p=cos(x) in 5p²−8p−3=0, kwadratische vergelijking oplossen.
  • Komt 5× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (25 scorepunten samen).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 1 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — −x³+1½x = 0 oplossen geeft x = 0 of x² = 1½.
  • Komt 1× voor, tussenstap binnen vraag 1.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — oplossen x⁴−30x²+125=0 (biquadratische vergelijking).
  • Vraag 7 (6p): kernonderdeel — oplossen 25r²−24r=0.
  • Vraag 9 (5p): kernonderdeel — oplossen 16a²=18(a²+1) resp. gelijkstellen afgeleiden.
  • Vraag 16 (4p): kernonderdeel — vergelijking a²+ln²(a) = a²+ln²(a+1)−2 numeriek oplossen (GR), eindantwoord twee decimalen.
  • Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (in totaal 19 scorepunten).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): kernonderdeel — exact oplossen van (4−4t²) = −4t.
  • Vraag 3 (4p): kernonderdeel — exact oplossen van de kwadratische vergelijking voor t uit de hellingvoorwaarde (t² = 16/44).
  • Vraag 7 (4p): kernonderdeel — 2p = ln(9p) − ln(3p) algebraïsch oplossen naar p.
  • Vraag 11 (3p): kernonderdeel — (p−5)²+16 = (p−8)²+25 exact oplossen naar p.
  • Vraag 15 (5p): kernonderdeel — 2(⅓a+1)√(⅓a+1) = 16 exact oplossen naar de grenzen van het interval voor a.
  • Komt 5× voor, telkens kernonderdeel (21 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — p⁵−3p√p = (p+12)⁵−3(p+12)√(p+12) numeriek oplossen met de GR.
  • Vraag 6 (6p): kernonderdeel — 6(3x−7) = −6 exact oplossen.
  • Vraag 8 (6p): kernonderdeel — logaritmische vergelijking in p onderzoeken op oplossingen (blijkt geen oplossing te hebben).
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — aantonen dat a²+2 = 0 geen oplossingen heeft.
  • Vraag 15 (2p): kernonderdeel — 10 = 0,4+0,3·2^(n−2) oplossen.
  • Vraag 18 (4p): kernonderdeel — vergelijking voor de straal r van de baan van de zon oplossen.
  • Komt 6× voor, zeer dominant dit tijdvak (samen 27 scorepunten).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — 72−p²=p oplossen na substitutie p=x√x (kwadratische vergelijking).
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — ²log(x²−18x+69)=2 én =−2 oplossen (twee kwadratische vergelijkingen).
  • Vraag 14 (4p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking x²−ax+69=0 met abc-formule oplossen naar de twee asymptootwaarden.
  • Vraag 16 (7p): kernonderdeel — e^(2a)−e^a−2=0 herleiden en factoriseren tot (e^a−1)(e
  • Komt 4× voor, telkens kernonderdeel (19 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2x+1/x=3 oplossen geeft x=0,5 en x=1.
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(x)=−½√3 oplossen tot x = ⁴⁄₃π+k·2π en x = ⁵⁄₃π+k·2π.
  • Vraag 14 (4p): kernonderdeel — vergelijking in q/p numeriek oplossen (GR), eindantwoord één decimaal.
  • Komt 3× voor, telkens noodzakelijke stap naar een numeriek of exact eindantwoord (13 scorepunten betrokken).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 3 (4p): 2sin(x−⅓π) = −1 exact oplossen.
  • Vraag 7 (4p): eˣ−1 = 3(1−e⁻ˣ) exact oplossen via substitutie p = eˣ, p²−4p+3=0.
  • Vraag 13 (5p): −3+x·√(x+3) = x (na herschrijven) leidt tot x²−x−3 = 0, kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule.
  • Vraag 15 (5p): f”(x) = 0 oplossen, −0,00048x²+0,024 = 0 geeft x² = 50.
  • Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van een grotere vraag (18 scorepunten samen betrokken).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): kernonderdeel — p·ln(p) = p exact oplossen.
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — x² − 2x√x + x = 0 herleiden en oplossen (geeft (√x − 1)² = 0).
  • Vraag 13 (3p): kernonderdeel — vergelijking met tan(1) en cos²(1) numeriek (GR) oplossen voor x, met y = 0.
  • Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — discriminant van een kwadratische vergelijking in x gelijkstellen om de raakvoorwaarde te bewijzen.
  • Komt 4× voor (15 scorepunten samen), telkens kernstap.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — ln(p²−11p+30)=ln(72) oplossen, (p−14)(p+3)=0.
  • Vraag 10 (3p): kernonderdeel — de vergelijkingen C(t)=2 en C(t)=3 oplossen (machtsvorm met exponent 1/2,3), GR-gestuurd.
  • Vraag 12 (3p): kernonderdeel — logaritmische vergelijking oplossen voor t/L.
  • Vraag 17 (6p): kernonderdeel — r²−4r+1=0 oplossen, r=2−√3 (r=2+√3 verwerpen).
  • Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (17 scorepunten in totaal).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): kernonderdeel — x² − 2x − ¾ = 0 exact oplossen (kwadratische vergelijking) om de snijpunten van m en de grafiek van f te vinden.
  • Vraag 13 (6p): kernonderdeel — eq = 4e⁻q oplossen (herleid tot e²q = 4), en ln(b) = −ln(4b) oplossen.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (14 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): kernonderdeel — vergelijking tussen de verschilformules van T,T1,T2 numeriek oplossen (GR) voor p.
  • Vraag 15 (5p): kernonderdeel — vergelijking cos(φ)/sin(φ) = cos(φ) (of gelijkwaardig) oplossen voor φ.
  • Komt 2× voor, telkens kernonderdeel (10 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 3 (6p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking in q=cos²(p) oplossen (6q²−5q−1=0).
  • Vraag 6 (5p): kernonderdeel — dubbele-ln-vergelijking algebraïsch oplossen voor T.
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — stelsel/model oplossen voor a, b en vervolgens C.
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking 2t²+8t−6=0 (ABC-formule, t=(−4±√28)/2).
  • Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (in totaal 19 scorepunten).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 1 (5p): kernonderdeel — 5t²−30t+25=0 (kwadratisch) oplossen naar t=1 of t=5.
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — −6sin(2x)−1/(2√x)=0 oplossen (numeriek/GR) om x-coördinaat van B te vinden.
  • Vraag 7 (6p): kernonderdeel — vergelijking voor x (hoogte capsule) oplossen.
  • Vraag 8 (5p): kernonderdeel — (x−1)ln(x)=x−1 herleiden en oplossen naar x=1 of x=e.
  • Vraag 9 (7p): kernonderdeel — ln(4p)=1 (of gelijkwaardige vorm) oplossen naar p=¼e².
  • Vraag 10 (6p): kernonderdeel — 2cos²(x)−cos(x)−2=0 oplossen (cos(x)=−½√2).
  • Vraag 12 (4p): kernonderdeel — vergelijking in p oplossen (loodrechte richtingscoëfficiënten/inproduct=0).
  • Komt zeer frequent voor: 7 van de 15 vragen, meestal met expliciete instructie “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” (GR-toelichting) als apart scorepunt.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — sin(2t) = sin(t) oplossen voor t (via 2t = t + k·2π of 2t = π − t + k·2π), of via ontbinden in factoren (sin(t)=0 of cos(t)=½).
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — (π−2p)·2sin(p) = ½·4cos(p) numeriek oplossen (GR), p ≈ 0,41.
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — log-vergelijking oplossen voor q, twee oplossingen q ≈ −0,20 en q ≈ 0,34.
  • Komt 3× voor, telkens kernonderdeel (12 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): kernonderdeel — snijpunten van l en f₁ gevonden via xe^x=x/e, dus x=0 of x=−1.
  • Vraag 10 (4p): kernonderdeel — vergelijking k=8d/(l²−4d²) oplossen naar l.
  • Vraag 15 (4p): kernonderdeel — 1/(1+p)=p leidt tot p²+p−1=0, opgelost met de abc-formule.
  • Komt 3× voor, telkens als noodzakelijke tussenstap naar een exact of numeriek eindantwoord (13 scorepunten betrokken).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking ⁴⁄₃π(10a+1,5)³=7,068… (derdegraads) oplossen voor a, met GR.
  • Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — ln(ax)=1 oplossen naar x (algebraïsch, geeft xS=e/a).
  • Komt 2× voor, één keer algebraïsch/exact (v7) en één keer numeriek via GR (v5).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Machtsfunctie
• Exponentiële functie
• Logaritmische functie
• Absolute-waardefunctie
• Algebraïsch en exact

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Ongelijkheden oplossen