Machtsfunctie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als basisfunctie van een opgave ($x\sqrt{x}$, $\frac{3}{\sqrt{x}}$, $x^4-30x^2$, modellen met $L^{0,7}$).

Wat moet je kunnen?

• Wortels en breuken herschrijven naar machten ($\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{x}=x^{-1}$) en terug.
• Machtsvergelijkingen exact oplossen, ook met een handige substitutie.
• Het verloop, de symmetrie en asymptoten afleiden uit $p$.

De kern

Vorm	Machtsvorm
$\sqrt{x}$	$x^{\frac{1}{2}}$
$x\sqrt{x}$	$x^{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$x^{-\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{x^2}$	$x^{\frac{2}{3}}$
$\frac{3}{x^2}$	$3x^{-2}$

$p$	Eigenschap
positief even geheel	symmetrisch in de $y$-as
oneven geheel	puntsymmetrisch in $O$
negatief	asymptoten $x=0$ en $y=0$
$x>0$, $p\ne 0$	grafiek door $(1,1)$

• Vergelijking $x^p=c$: $x=c^{\frac{1}{p}}$ (let op het domein).
• Machtsverband $y=c\cdot x^p$: $x$ keer 2 geeft $y$ keer $2^p$.

Zo wordt het gevraagd

• $f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}=3x^{-\frac{1}{2}}$, raakpunt bepalen (2026-2 vraag 12).
• $f(x)=x^5-3x\sqrt{x}$ (2024-1 vraag 1).
• $72-x^3=x\sqrt{x}$ exact oplossen met de substitutie $p=x\sqrt{x}$ (2024-2 vraag 1).
• Modellen als $Y=40L^{0,7}(50-2,5L{)}^{0,3}$ (2024-2 vraag 3 en 5).

Uitgewerkt voorbeeld

Substitutie (examenstijl, vergelijk 2024-2 vraag 1)

Los exact op: $72-x^3=x\sqrt{x}$.

1. Stel $p=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$; dan $x^3=p^2$.
2. $72-p^2=p\Rightarrow p^2+p-72=0\Rightarrow (p+9)(p-8)=0$
3. $p=8$ ($p=-9$ valt af, want $x\sqrt{x}\ge 0$)
4. $x^{\frac{3}{2}}=8\Rightarrow x=8^{\frac{2}{3}}=4$. Controle: $72-64=8=4\cdot 2$. ✓

Machtsverband

$y=5x^{-2}$. Wat gebeurt er met $y$ als $x$ drie keer zo groot wordt? $y$ wordt $3^{-2}=\frac{1}{9}$ keer zo groot.

Valkuilen

• $\frac{1}{\sqrt{x}}$ herschrijven als $x^{\frac{1}{2}}$ in plaats van $x^{-\frac{1}{2}}$.
• $x^{\frac{3}{2}}=8$ oplossen als $x=\frac{8}{1,5}$.
• Een negatieve oplossing van een substitutie niet laten vervallen.

Test jezelf

Schrijf $\frac{4}{x\sqrt{x}}$ als macht.

$4x^{-\frac{3}{2}}$.

Los op: $x^{\frac{2}{3}}=9$ ($x>0$).

$x=9^{\frac{3}{2}}=27$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 2, vraag 1: $72-x^3=x\sqrt{x}$ exact met substitutie (4p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 12: $\frac{3}{\sqrt{x}}$ en een raakpunt (4p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 6: formule met $d^{0,25}$ en $d^{-0,5}$ (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 12 (4p): in vraagstelling — f(x) = 3/√x = 3x^(−½), machtsfunctie met een gebroken (negatieve) exponent.
  • Komt 1× voor, basisfunctie van opgave “Een gebroken wortelfunctie”.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling — f(x)=x⁴−30x² is een vierdegraads (macht)functie, basis van de hele opgave.
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling — zelfde functievoorschrift gebruikt.
  • Komt 2× voor als onderliggend functietype van opgave “Vierdegraadsfunctie”.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f(x) = x⁵ − 3x√x, een machtfunctie met gebroken exponent (x^(3/2)), basis van de hele opgave “Stijgend en horizontaal”.
  • Komt 1× voor, ondersteunend basisfunctietype.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=72−x³ en g(x)=x√x zijn beide machtsfuncties (x³ resp. x^(3/2), de wortelfunctie als bijzonder geval). Substitutie p=x√x gebruikt om exact op te lossen.
  • Vraag 3 (2p) / vraag 5 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, Y=40·L^0,7·(50−2,5L)^0,3 is opgebouwd uit machtsfuncties met gebroken exponenten; vraag 5 bewijst een schaaleigenschap (gY=A·(gL)^α·(gK)^β) die expliciet leunt op machtsfunctie-rekenregels.
  • Komt 2× voor (opgaven “Twee functies” en “Cobb-Douglas-productiefunctie”), telkens als onderliggend functietype.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f(x) = 2x + 1/x bevat de machtsterm x⁻¹ (gebroken functie).
  • Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(d) = R·d^0,25 + 4R·d^-0,5, machtsfunctie met fractionele/negatieve exponent na combineren van formule 1 en 2.
  • Komt 2× voor, telkens als onderliggend functietype van een grotere berekening.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — f(x) = −0,00004x⁴+0,012x²+2,3, een vierdegraadsfunctie (combinatie van machtstermen) als model voor het wegdek van de boogbrug.
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — dezelfde functie f gebruikt om punt P(p, f(p)) te definiëren.
  • Komt 2× voor als onderliggend functietype van de opgave “Boogbrug” (11 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 10 (3p): in vraagstelling — C(t) bevat een term met exponent 1/2,3, machtsvorm.
  • Vraag 11 (4p): kernonderdeel — formule (1) herleiden naar t = L − L·a(6−C)^b, expliciet een machtsfunctie-vorm met te bepalen a en b.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Verouderingskromme” samen met Logaritmische functie (7 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 14 (6p): in vraagstelling — f(x) = √(6x), wortelfunctie (machtsfunctie met exponent ½) als basis van de opgave.
  • Komt 1× voor, functietype waarop de hele opgave “P en Pʹ” is gebaseerd.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling — f_p(x)=¼x⁴−x³+px is een vierdegraadsfunctie (machtsfunctie-combinatie), basis van de hele opgave.
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling — zelfde functievoorschrift gebruikt voor de oppervlakteberekening.
  • Komt 2× voor als onderliggend functietype van opgave “Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie” (9 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 14 (3p): in vraagstelling — f(x)=x³−6x²+12x−9 is een derdegraadsfunctie (som van machtstermen), basisfunctie van de hele opgave. Zwakker/indirecter raakvlak dan bij een pure machtsfunctie: de nadruk van de vraag ligt op de inverse, niet op machtsfunctie-eigenschappen als zodanig.
  • Komt 1× voor als onderliggend functietype van opgave “Een derdegraadsfunctie” (3p, indirect).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 3 (5p): in vraagstelling — f_p(x)=p+√(x−p) is een macht-/wortelfunctie (x^½), verschoven.
  • Vraag 4 (3p): idem, zelfde functiefamilie.
  • Vraag 5 (5p): in vraagstelling — grafiek van f1 (wortelfunctie) begrenst vlakdeel V.
  • Vraag 15 (7p): in vraagstelling — f(x)=√x, basis van het omwentelingslichaam.
  • Komt 4× terug als onderliggend functietype, dominant in twee losse opgaven (“Altijd raak” en “Afgeknotte paraboloïde”).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 15 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=1/x (machtsfunctie met exponent −1), grafiek en vierkant eronder gegeven.
  • Komt 1× voor, basis van de hele opgave “Vierkant onder grafiek” (4p).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 11 (8p): in vraagstelling — f(x)=x² is de basisfunctie van de hele opgave “Anderhalf keer zo groot”.
  • Komt 1× voor, onderliggend functietype van de hele opgave (8p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Karakteristieke eigenschappen van functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Standaardafgeleiden
• Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen