Absolute-waardefunctie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 7 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als basis van een hele opgave (knik, top, snijpunten, oppervlakte), met 2–3 vragen.

Wat moet je kunnen?

• Een functie met $|\dots |$ zonder absolute waarde schrijven per interval.
• De knik vinden en bepalen waar de grafiek differentieerbaar is.
• Vergelijkingen met $|\dots |$ oplossen door gevallen te splitsen (en te controleren).

De kern

$|A|=\{\begin{array}{ll}A& \text{als }A\ge 0\\ -A& \text{als }A<0\end{array}$

Vorm	Aanpak
$f(x)=|x-a|$	knik in $x=a$
$|A|=B$	$A=B$ of $A=-B$, en controleer $B\ge 0$
$|A|=|B|$	$A=B$ of $A=-B$
functie met $|\dots |$ differentiëren	eerst per interval zonder strepen schrijven

• In de knik is de grafiek niet differentieerbaar (links en rechts een andere helling).
• $|\sin x+c|$: stukken onder de $x$-as worden omhoog gespiegeld.
• Zie Transformaties van grafieken.

Zo wordt het gevraagd

• $g_p(x)=x+|px-1|$, de knik van de grafiek (2026-2 vraag 2).
• $f_a(x)=|a-x^2|\cdot x+3x$, knik bij $x=\sqrt{a}$ en snijpunten met een lijn (2025-2 vraag 14–15).
• $f(x)=-3+|x|\sqrt{x+3}$: top links van de $y$-as (2023-2 vraag 12–14).
• $f(x)=|\sin x+\frac{2}{3}\sqrt{3}|$, “Absolute sinus” (2023-1 vraag 11–12).

Uitgewerkt voorbeeld

Vergelijking met gevallen

Los op: $|x-3|=2x$.

1. Geval $x\ge 3$: $x-3=2x\Rightarrow x=-3$, voldoet niet (want $x\ge 3$).
2. Geval $x<3$: $3-x=2x\Rightarrow x=1$ ✓
3. Controle: $|1-3|=2=2\cdot 1$. Antwoord: $x=1$.

Functie per interval (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 2)

$g(x)=x+|2x-1|$

• $x\ge \frac{1}{2}$: $g(x)=x+2x-1=3x-1$ (rc 3)
• $x<\frac{1}{2}$: $g(x)=x-2x+1=-x+1$ (rc $-1$)
• Knik in $x=\frac{1}{2}$, punt $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$; de hellingen verschillen, dus niet differentieerbaar daar.

Valkuilen

• Een geval-oplossing niet terugcontroleren tegen de voorwaarde van dat geval.
• $|A|=B$ oplossen zonder te checken dat $B\ge 0$.
• Een functie met $|\dots |$ direct differentiëren.

Test jezelf

Los op: $|x|=|x-4|$.

$x=x-4$ (kan niet) of $x=-(x-4)\Rightarrow x=2$.

Waar heeft $f(x)=|x^2-9|$ knikken?

Waar $x^2-9=0$: $x=-3$ en $x=3$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2023 tijdvak 2, vraag 12–14: absolute waarde en wortelfunctie (5p + 5p + 5p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 14–15: knik en snijpunten van $f_a$ (5p + 5p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 2: knik van 90° bewijzen (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 7 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 87,5%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, gp(x) = x + |px − 1|, de “knik” in de grafiek is het kenmerk van de |·|-functie.
  • Frasering: “De grafiek van gp heeft een knik.” Komt 1× voor, volledige vraag (4p) — bewijs dat de knikhoek 90° is via de hellingen van de twee lineaire stukken (product van hellingen = −1).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x) = |a−x²|·x + 3x voor x≥0; de |a−x²|-term veroorzaakt de knik met x-coördinaat √a.
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, dezelfde functie fa gebruikt om het aantal snijpunten met lijn l te analyseren.
  • Frasering: “De grafiek van fa heeft een knik met x-coördinaat √a.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Drie keer over de lijn” (10 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — de grafiek van (vermoedelijk) y=|f18(x)| snijdt y=2 in vier punten, wat in het correctievoorschrift leidt tot twee aparte kwadratische vergelijkingen (f18(x)=2 én f18(x)=−2), typerend voor het splitsen bij absolute waarden.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag (opgavetitel “Absolute logaritme” verwijst hier direct naar).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, opgavetitel “Absolute sinus”, f(x) = |sin(x) + ⅔√3| (absolute waarde toegepast op een sinusfunctie); in het antwoord expliciete controle “(want 1−⅔√3 ≥ 0)” op het teken binnen de absolute waarde.
  • Vraag 12 (5p): in vraagstelling — de “kleine vlakdelen” ontstaan juist door de knik/spiegeling die de absolute waarde in de grafiek van f veroorzaakt.
  • Komt 2× voor, dominant thema van de hele opgave “Absolute sinus” (8 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 12 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = −3+|x|·√(x+3) met x≥−3, top T links van de y-as bepalen.
  • Vraag 13 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, lijn k door P(−3,−3) en O snijdt de grafiek van f rechts van de y-as in punt S.
  • Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, gebied V (ingesloten door f en lijn y=−3) gewenteld om lijn l.
  • Frasering: “De functie f wordt gegeven door f(x) = −3+|x|·√(x+3) met x≥−3.” Dominant thema van de hele opgave “Absolute waarde en wortelfunctie” (15 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 14 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Voor x < 1 geldt: f(x) = −x + 1 + (x−5)/(2x−5).” Dit wijst op f(x) = |x−1| + (x−5)/(2x−5) (de grafiek heeft expliciet “een knikpunt voor x = 1”, typisch voor een absolute-waardeterm; let op: pdftotext toont dit met een gewoon minteken, de absolutewaardestrepen zijn bij extractie weggevallen).
  • Vraag 15 (6p): impliciet — de oplossing “2½ < x < 3” houdt rekening met alleen de tak x > 1 (rechts van het knikpunt), relevant voor de absolutewaardefunctie-structuur van f.
  • Komt 2× voor, onderliggende structuur van opgave “Asymptoot”.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 3 (5p): in vraagstelling — de grafiek van g (afgeleid van f, symmetrisch in x=5½) heeft in A(5½, 0) een knik, met twee verschillende raaklijnen links en rechts van A — kenmerkend voor een functie met een absolute-waarde-achtige knik (g = |f|).
  • Komt 1× voor, ondersteunend/conceptueel (geen losse scorepunten voor de knik zelf, wel de aanleiding voor twee verschillende raaklijnen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 13 (6p): kernonderdeel — f(x) = ln(x) is in de opgave feitelijk ln|x| (“absolute natuurlijke logaritme”); correctievoorschrift werkt expliciet met ln(xC) = ln(xC) (want ln(xC) > 0) en −ln(xB) (want ln(xB) < 0) om punt B met negatieve x-coördinaat te behandelen.
  • Frasering: opgavetitel zelf (“Absolute natuurlijke logaritme”). Komt 1× voor, maar volledig kernonderdeel van de hele opgave (6p).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = |x−2|·(½x+2) + 1, knik in het punt A door de absolute waarde.
  • Komt 1× voor, bepaalt de hele opzet van de opgave “Raaklijn in knikpunt” (5p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Karakteristieke eigenschappen van functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen
• Ongelijkheden oplossen