Correlatiecoëfficiënt

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. Let op: de studieplanner zegt dat §14.1–14.2 niet bij SE-2 horen; op jouw aanwijzing toch meegenomen. Toetsvorm: “Bereken voor elk paar variabelen de pmcc. Welk paar vertoont de sterkste correlatie?” (diagnostische toets 3).

Wat moet je kunnen?

• De covariantie berekenen met een tabel, en uitleggen waarom het teken de richting van de samenhang geeft.
• De pmcc $r$ berekenen met de GR en met de formule.
• Bij een spreidingsdiagram $r$ schatten.
• Weten wat er met $r$ gebeurt bij verschuiven, vermenigvuldigen of verwisselen van $X$ en $Y$.
• Een misleidende pmcc herkennen (niet-lineair, uitschieters, heterogeniteit, selectie, causaliteit).

De kern

Covariantie $\text{cov}(X,Y)={\sigma }_{XY}=\frac{\Sigma (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})}{n}$ Punten in kwadrant I en III (ten opzichte van het zwaartepunt) geven een positieve bijdrage, punten in II en IV een negatieve. Merk op: $\text{cov}(X,X)={\sigma }_X^2$.

De covariantie is afhankelijk van de eenheden (meters of centimeters), en dus geen goede correlatiemaat.

Productmoment-correlatiecoëfficiënt (pmcc) $r=\frac{{\sigma }_{XY}}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}-1\le r\le 1$

• $r=1$ of $r=-1$: alle punten liggen op een rechte lijn (volkomen correlatie).
• $r=0$: geen (lineaire) correlatie.
• Op de GR: LinReg geeft $r$ (TI: eerst DiagnosticOn aanzetten).

verandering	effect op $r$
$X$ en $Y$ verwisselen	geen
constante optellen bij alle $Y$	geen
alle $X$ met een positief getal vermenigvuldigen	geen
$Y=c-X$ (exact dalend lineair)	$r=-1$

Interpretatie. De pmcc geeft alleen informatie over lineaire samenhang. Hij is gevoelig voor uitschieters, kan misleiden bij heterogene groepen of selectie, en zegt niets over oorzaak en gevolg (causaliteit).

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken voor elk paar variabelen de pmcc. Welk paar vertoont de sterkste correlatie?” (diagnostische toets 3).
• “Geef bij elk van deze diagrammen de waarde van r. Kies uit −1; −0,9; −0,4; 0; 0,4; 0,9 en 1.” (opgave 14, 15, 17).
• “Neem aan dat elke Y-waarde van tabel II met 2 verminderd wordt. Verandert r?” (opgave 19).

Uitgewerkt voorbeeld

Covariantie en pmcc (vergelijk H14 Theorie D blz. 63–64)

Vijf leerlingen: $X$ = toets wiskunde B, $Y$ = toets natuurkunde: (4,2; 2,5), (8,3; 6,0), (2,7; 1,5), (9,4; 8,0), (5,4; 7,0).

1. $\overline{X}=\frac{30,0}{5}=6,0$ en $\overline{Y}=\frac{25,0}{5}=5,0$.
2. De producten $(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})$ zijn $4,5$; $2,3$; $11,55$; $10,2$ en $-1,2$. Som: $27,35$.
3. ${\sigma }_{XY}=\frac{27,35}{5}=5,47$. Positief, dus positieve correlatie. Alleen leerling E (kwadrant II) draagt negatief bij.
4. Met de GR: $r\approx 0,86$.

Controle met numpy: ${\sigma }_{XY}=5,47$ en $r=0,857$ ✓

Sterkste correlatie (vergelijk H14 diagnostische toets 3)

Voor drie variabelen $X$, $Y$ en $Z$ geeft de GR: bij $X$ en $Y$ is $r=0,142$, bij $X$ en $Z$ is $r=0,695$, bij $Y$ en $Z$ is $r=0,429$. Dus $X$ en $Z$ vertonen de sterkste correlatie (grootste $|r|$).

Valkuilen

• Bij de sterkste correlatie naar $r$ kijken in plaats van naar $|r|$: $r=-0,9$ is sterker dan $r=0,7$.
• Denken dat $r=0$ “geen samenhang” betekent. Er kan een sterk niet-lineair verband zijn.
• Correlatie verwarren met oorzaak en gevolg.
• De covariantie gebruiken om sterkte te vergelijken. Die hangt af van de eenheden.

Test jezelf

${\sigma }_X=0,0715$ m, ${\sigma }_Y=0,4841$ m en $\Sigma (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})=0,2508$ m² bij 9 atleten. Bereken $r$.

${\sigma }_{XY}=\frac{0,2508}{9}\approx 0,0279$ m². $r=\frac{0,0279}{0,0715\cdot 0,4841}\approx 0,805$.

Bij een proefwerk van 25 vragen is $X$ het aantal goed en $Y$ het aantal fout. Wat is $r$?

$Y=25-X$ ligt exact op een dalende lijn, dus $r=-1$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave O11 · uitwerking: kwadranten en het teken van de covariantie
• H14 opgave O12–13 · uitwerking: covariantie en pmcc
• H14 opgave 14–17 · uitwerking: $r$ schatten
• H14 opgave 18–19 · uitwerking: wat verandert er aan $r$?
• H14 opgave 21 · uitwerking: misleidende pmcc
• H14 diagnostische toets 3 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis Theorie C: Correlatie (blz. 52)
• §14.1 Theorie D: De covariantie (blz. 63–64)
• §14.1 Theorie E: De productmoment-correlatiecoëfficiënt (blz. 65)
• Informatief: De pmcc en lineaire samenhang (blz. 66)
• Terugblik §14.1 (blz. 70)
• Diagnostische toets 3 (blz. 102)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Regressielijnen
• Normale verdeling (standaardafwijking)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Regressievoorspellingen