Regressielijnen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. Let op: de studieplanner zegt dat §14.1–14.2 niet bij SE-2 horen. Op jouw aanwijzing is bij twijfel alles meegenomen; leer dit pas als de rest van SE-2 zit. Toetsvorm: “Stel van beide regressielijnen de formule op”, “Stel algebraïsch de formule op” uit $\Sigma X$, $\Sigma Y$, $\Sigma X^2$ en $\Sigma XY$ (diagnostische toets 1–2).

Wat moet je kunnen?

• Met de GR (LinReg) de regressielijn opstellen en een voorwaardelijke voorspelling doen.
• Het residu $Y-\hat{Y}$ berekenen.
• Het verschil tussen regressie van $Y$ op $X$ en van $X$ op $Y$ uitleggen en beide opstellen.
• De regressiecoëfficiënten algebraïsch berekenen uit gegeven sommen.

De kern

Residu. Het residu bij een waarde van $X$ is het verschil tussen de waargenomen $Y$ en de door de regressielijn voorspelde $\hat{Y}$: residu $=Y-\hat{Y}$. De GR maakt de lijn waarvoor de som van de kwadraten van de residuen minimaal is: de methode van de kleinste kwadraten.

	regressie van $Y$ op $X$	regressie van $X$ op $Y$
gebruik	$Y$ voorspellen bij gegeven $X$	$X$ voorspellen bij gegeven $Y$
minimaal	$\Sigma (\text{verticale afstand}{)}^2$	$\Sigma (\text{horizontale afstand}{)}^2$
formule	$\hat{Y}=a_{Y}X+b_Y$	$\hat{X}=a_{X}Y+b_X$
op de GR (TI)	LinReg(ax+b) L1, L2	LinReg(ax+b) L2, L1

$a=\frac{n\Sigma XY-\Sigma X\cdot \Sigma Y}{n\Sigma X^2-(\Sigma X{)}^2}b=\overline{Y}-a\overline{X}$

Bij regressie van $X$ op $Y$ verwissel je $X$ en $Y$ (dus $n\Sigma Y^2-(\Sigma Y{)}^2$ in de noemer). Beide regressielijnen gaan door het zwaartepunt $(\overline{X},\overline{Y})$. De afspraak is dat je regressiecoëfficiënten in drie significante cijfers geeft, tenzij anders vermeld.

Fout: $\hat{Y}=1,79X-0,14$ omschrijven naar $X=\dots$ geeft niet de regressielijn van $X$ op $Y$.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel van beide regressielijnen de formule op. Vanaf welke lengte is het voorspelde gewicht meer dan 75 kg?” (diagnostische toets 1).
• “Stel de formule op van de regressielijn van Y op X” met gegeven $\Sigma X$, $\Sigma Y$, $\Sigma X^2$, $\Sigma Y^2$ en $\Sigma XY$ (diagnostische toets 2, opgave 9, A10).
• “Maak een lijst met de residuen. Bij welke X wijkt de voorwaardelijke voorspelling het meest af van Y?” (opgave 3).

Uitgewerkt voorbeeld

Algebraïsch (vergelijk H14 diagnostische toets 2)

Van vijf auto’s is het gewicht $X$ in kg en het aantal kilometers $Y$ per liter bekend: $\Sigma X=5523$, $\Sigma Y=60,7$, $\Sigma X^2=6567097$, $\Sigma Y^2=766,67$ en $\Sigma XY=63360,8$.

1. $a=\frac{5\cdot 63360,8-5523\cdot 60,7}{5\cdot 6567097-5523^2}=-0,007908\dots$
2. $\overline{X}=\frac{5523}{5}=1104,6$ en $\overline{Y}=\frac{60,7}{5}=12,14$.
3. $b=12,14-(-0,007908\dots )\cdot 1104,6\approx 20,9$, dus $\hat{Y}=-0,00791X+20,9$.
4. Regressie van $X$ op $Y$: $a=\frac{5\cdot 63360,8-5523\cdot 60,7}{5\cdot 766,67-60,7^2}=-123,8\dots$ en $b\approx 2609$: $\hat{X}=-124Y+2609$.
5. Auto van 1000 kg: $\hat{Y}=-0,00791\cdot 1000+20,9\approx$ 13 km per liter.

Controle met numpy ✓

Met de GR (vergelijk H14 diagnostische toets 1)

Lengte $X$ (cm) en gewicht $Y$ (kg) van 10 leerlingen. Vanaf welke lengte is het voorspelde gewicht meer dan 75 kg?

1. LinReg(ax+b) L1, L2 geeft $\hat{Y}=0,629X-42,0$ (en LinReg L2, L1 geeft $\hat{X}=0,409Y+139$).
2. $\hat{Y}>75$: $0,629X-42,0>75$, dus $X>186,0$.
3. Vanaf 186 cm.

Valkuilen

• De regressielijn van $X$ op $Y$ maken door $\hat{Y}=aX+b$ om te schrijven.
• Bij “voorspel $X$” de lijn van $Y$ op $X$ gebruiken.
• $\overline{X}$ en $\overline{Y}$ verwisselen bij het berekenen van $b$.
• Tussenantwoorden afronden voordat je $b$ berekent.

Test jezelf

$\Sigma X=32$, $\Sigma Y=56$, $\Sigma X^2=156$, $\Sigma XY=274$, $n=8$. Stel de regressielijn van $Y$ op $X$ op.

$a=\frac{8\cdot 274-32\cdot 56}{8\cdot 156-32^2}=1,785\dots$, $\overline{X}=4$, $\overline{Y}=7$, $b=7-1,785\dots \cdot 4\approx -0,143$: $\hat{Y}=1,79X-0,143$.

Wat is het residu bij $X=5$ als $Y=54$ en $\hat{Y}=4,84X+58,0$?

$\hat{Y}=82,2$, residu $=54-82,2=-28,2$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave 2–3 · uitwerking: LinReg en residuen
• H14 opgave A5–A6 · uitwerking: beide regressielijnen
• H14 opgave O8 · uitwerking: kleinste kwadraten zelf afleiden
• H14 opgave 9–A10 · uitwerking: algebraïsch uit de sommen
• H14 diagnostische toets 1–2 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §14.1 Theorie A: Regressiemodellen en de GR (blz. 55–56)
• §14.1 Theorie B: Afhankelijke en onafhankelijke variabelen (blz. 58)
• §14.1 Theorie C: De methode van de kleinste kwadraten (blz. 60), met Voorbeeld (blz. 61)
• Terugblik §14.1 (blz. 70)
• Diagnostische toets 1–2 (blz. 102)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een lijn

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Correlatiecoëfficiënt
• Regressievoorspellingen