Regressievoorspellingen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. Let op: de studieplanner zegt dat §14.1–14.2 niet bij SE-2 horen; op jouw aanwijzing toch meegenomen. Toetsvorm: “Stel de formule op van de regressielijn van Y op X. Bereken de standaardschattingsfout. Bereken het 68%-betrouwbaarheidsinterval voor Y als X = 85.” (diagnostische toets 4–5).

Wat moet je kunnen?

• De regressielijn opstellen uit $\overline{X}$, $\overline{Y}$, ${\sigma }_X$, ${\sigma }_Y$ en $r$.
• $r$ berekenen uit twee regressielijnen ($a_X\cdot a_Y=r^2$).
• De standaardschattingsfout en een 68%- of 95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen.
• Het verschijnsel regressie naar het gemiddelde uitleggen.

De kern

$\text{regressie van }Y\text{ op }X:\hat{Y}=a_{Y}X+b_Y,a_Y=r\cdot \frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\text{regressie van }X\text{ op }Y:\hat{X}=a_{X}Y+b_X,a_X=r\cdot \frac{{\sigma }_X}{{\sigma }_Y}$ Beide lijnen gaan door $(\overline{X},\overline{Y})$, dus $b$ volgt uit het zwaartepunt. Uit de twee richtingscoëfficiënten volgt $a_X\cdot a_Y=r^2$.

Standaardschattingsfout. De afwijking $d=Y-\hat{Y}$ is het residu. De standaardafwijking van de residuen heet de standaardschattingsfout: ${\sigma }_d={\sigma }_Y\sqrt{1-r^2}$

interval	betekenis
$⟨\hat{Y}-{\sigma }_d,\hat{Y}+{\sigma }_d⟩$	68%-betrouwbaarheidsinterval
$⟨\hat{Y}-2{\sigma }_d,\hat{Y}+2{\sigma }_d⟩$	95%-betrouwbaarheidsinterval

Dit komt uit de normale verdeling: ongeveer 68% ligt binnen $\mu \pm \sigma$ en 95% binnen $\mu \pm 2\sigma$.

Regressie naar het gemiddelde. Omdat $|r|<1$ ligt de voorspelling $\hat{Y}$ (gemeten in ${\sigma }_Y$) dichter bij $\overline{Y}$ dan $X$ (gemeten in ${\sigma }_X$) bij $\overline{X}$ ligt. Een extreme score wordt de tweede keer meestal minder extreem.

Zo wordt het gevraagd

• “Neem r = 0,8 en bereken de voorspelling van Y bij X = 13. Voor welke r is X̂ = 0,6Y + 2,8?” (diagnostische toets 4).
• “Stel de formule op van de regressielijn van Y op X. Bereken de standaardschattingsfout. Bereken het 68%-betrouwbaarheidsinterval voor Y als X = 85.” (diagnostische toets 5).
• “Marc was ziek bij het tweede tentamen. Zijn docent gaf hem voor het tweede tentamen de score Y = 5,5. Bereken de correlatiecoëfficiënt.” (opgave A30).

Uitgewerkt voorbeeld

Betrouwbaarheidsinterval (vergelijk H14 diagnostische toets 5)

$X$ en $Y$ normaal verdeeld met ${\mu }_X=100$, ${\sigma }_X=10$, ${\mu }_Y=20$, ${\sigma }_Y=3$ en $r=0,6$.

1. $a=r\cdot \frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}=0,6\cdot \frac{3}{10}=0,18$.
2. Door $(100,20)$: $0,18\cdot 100+b=20$, dus $b=2$. $\hat{Y}=0,18X+2$.
3. ${\sigma }_d=3\sqrt{1-0,6^2}=3\sqrt{0,64}=2,4$.
4. $X=85$ geeft $\hat{Y}=0,18\cdot 85+2=17,3$.
5. 68%-betrouwbaarheidsinterval: $⟨17,3-2,4;17,3+2,4⟩=⟨14,9;19,7⟩$.

Lengte en gewicht (vergelijk H14 Voorbeeld blz. 71)

$\overline{X}=168$ cm, ${\sigma }_X=6$, $\overline{Y}=64$ kg, ${\sigma }_Y=4$ en $r=0,7$. Voorspel het gewicht bij 183 cm.

1. $a=0,7\cdot \frac{4}{6}=\frac{7}{15}$ en $\frac{7}{15}\cdot 168+b=64$ geeft $b=-14\frac{2}{5}$.
2. $X=183$ geeft $\hat{Y}=\frac{7}{15}\cdot 183-14\frac{2}{5}=71$ kg.

Valkuilen

• $a_Y=r\cdot \frac{{\sigma }_X}{{\sigma }_Y}$ nemen: bij regressie van $Y$ op $X$ staat ${\sigma }_Y$ boven.
• ${\sigma }_d={\sigma }_Y(1-r^2)$ zonder wortel.
• Het 95%-interval met $\pm {\sigma }_d$ in plaats van $\pm 2{\sigma }_d$.
• Bij $a_X\cdot a_Y=r^2$ het teken vergeten: $r$ heeft hetzelfde teken als de richtingscoëfficiënten.

Test jezelf

$\overline{X}=80$, ${\sigma }_X=5$, $\overline{Y}=65$, ${\sigma }_Y=10$, $r=0,60$. Geef de regressielijn van $Y$ op $X$ en ${\sigma }_d$.

$a=0,6\cdot \frac{10}{5}=1,2$ en $b=65-1,2\cdot 80=-31$: $\hat{Y}=1,2X-31$. ${\sigma }_d=10\sqrt{0,64}=8$.

Geef het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor $Y$ bij $X=70$ in dezelfde situatie.

$\hat{Y}=1,2\cdot 70-31=53$, dus $⟨53-16;53+16⟩=⟨37;69⟩$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave 23 · uitwerking: regressielijn uit $r$, ${\sigma }_X$ en ${\sigma }_Y$
• H14 opgave 27 · uitwerking: IQ, regressie naar het gemiddelde
• H14 opgave A28–A29 · uitwerking: in beide richtingen voorspellen
• H14 opgave 35–A36 · uitwerking: betrouwbaarheidsintervallen
• H14 diagnostische toets 4–5 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §14.2 Theorie A: De richtingscoëfficiënt van de regressielijn, met Voorbeeld (blz. 71–72)
• Informatief: Regressie naar het gemiddelde (blz. 73)
• §14.2 Theorie B: Betrouwbaarheidsintervallen (blz. 75)
• Terugblik §14.2 (blz. 77)
• Diagnostische toets 4–5 (blz. 102)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Regressielijnen
• Correlatiecoëfficiënt
• Normale verdeling

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)