Eenzijdig en tweezijdig toetsen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. De meeste toetsvragen zijn eenzijdig: “Kun je bij een significantieniveau van 2,5% zeggen dat de consumentenorganisatie gelijk krijgt?” (diagnostische toets 7, opgave 48–53). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Uit de tekst afleiden of de toets links-, rechts- of tweezijdig is.
• $H_0$ en $H_1$ goed formuleren, met een enkelvoudige nulhypothese.
• Het werkschema volgen: met overschrijdingskans als het steekproefresultaat bekend is, anders met een beslissingsvoorschrift.

De kern

	linkszijdig	tweezijdig	rechtszijdig
nulhypothese	$H_0:\mu ={\mu }_0$	$H_0:\mu ={\mu }_0$	$H_0:\mu ={\mu }_0$
alternatieve hypothese	$H_1:\mu <{\mu }_0$	$H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$H_1:\mu >{\mu }_0$
beslissingsvoorschrift	verwerp $H_0$ als $\overline{X}\le g$	verwerp $H_0$ als $\overline{X}\le g_l$ of $\overline{X}\ge g_r$	verwerp $H_0$ als $\overline{X}\ge g$
overschrijdingskans van $k$	$P(\overline{X}\le k)$	$P(\overline{X}\le k)$ als $k<{\mu }_0$, $P(\overline{X}\ge k)$ als $k>{\mu }_0$	$P(\overline{X}\ge k)$
verwerp $H_0$ als	overschrijdingskans $\le \alpha$	overschrijdingskans $\le \frac{1}{2}\alpha$	overschrijdingskans $\le \alpha$

Enkelvoudige nulhypothese. Ook als de bewering “minstens 800” is, neem je $H_0:\mu =800$ en niet $\mu \ge 800$. Je kiest de waarde die voor de bewering het gunstigst is: wie $\mu =800$ niet kan verwerpen, kan elke $\mu >800$ ook niet verwerpen (opgave 52).

Welke kant? $H_0$ is de hypothese die in twijfel wordt getrokken. $H_1$ is wat de twijfelaar vermoedt: “minder dan” geeft linkszijdig, “meer dan” of “verlengd” geeft rechtszijdig, “afwijkend” of “klopt het gemiddelde?” geeft tweezijdig.

Werkschema: het toetsen van hypothesen

1. Formuleer $H_0$ en $H_1$ en vermeld het significantieniveau.
2. Steekproefresultaat bekend: bereken de overschrijdingskans. Niet bekend: stel het beslissingsvoorschrift op.
3. Beantwoord de gestelde vraag.

Zo wordt het gevraagd

• “Kun je bij een significantieniveau van 2,5% zeggen dat de consumentenorganisatie gelijk krijgt?” (diagnostische toets 7).
• “Bij welke steekproefgemiddelden is er bij een significantieniveau van 5% aanleiding te veronderstellen dat de afhandelingstijd inderdaad verminderd is? Rond af op één decimaal.” (opgave 48a).
• “Stel het beslissingsvoorschrift op bij de volgende toetsen” met gegeven $H_0$, $H_1$, $\alpha$ en $n$ (opgave 47).
• “Licht toe dat μ = 800 voor de fabrikant gunstiger is dan een μ-waarde groter dan 800.” (opgave 52b).

Uitgewerkt voorbeeld

Zakken aardappelen (vergelijk H14 diagnostische toets 7)

Gewicht per zak normaal verdeeld met $\sigma =0,4$ kg. De leverancier beweert $\mu =5$ kg. Een consumentenorganisatie vermoedt minder. Een steekproef van 50 zakken levert een gemiddelde van 4,76 kg. Krijgt de consumentenorganisatie gelijk bij $\alpha =0,025$?

1. $X$ = het gewicht in kg van een zak. $H_0:{\mu }_X=5$, $H_1:{\mu }_X<5$ (linkszijdig), $\alpha =0,025$.
2. $\overline{X}$ is normaal verdeeld met ${\mu }_{\overline{X}}=5$ en ${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{0,4}{\sqrt{50}}$.
3. Steekproefresultaat bekend, dus de overschrijdingskans: $P(\overline{X}\le 4,76)=\text{normalcdf}\left(-10^{99},4.76,5,\frac{0.4}{\sqrt{50}}\right)\approx 0,00001$
4. $0,00001\le \alpha$, dus verwerp $H_0$: de consumentenorganisatie krijgt gelijk.

Controle met scipy: $1,1\cdot 10^{-5}$ ✓

Beslissingsvoorschrift bij een linkszijdige toets (vergelijk H14 opgave 48a)

Afhandelingstijd normaal verdeeld met $\mu =12$ en $\sigma =3$ minuten. Door een reorganisatie zou de tijd korter zijn. Steekproef van 25 bestellingen, $\alpha =0,05$.

1. $H_0:{\mu }_X=12$, $H_1:{\mu }_X<12$, $\alpha =0,05$. ${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{3}{\sqrt{25}}=0,6$.
2. $P(\overline{X}\le g)=0,05$ geeft $g=\text{invNorm}(0.05,12,0.6)\approx 11,01$.
3. Verwerp $H_0$ bij steekproefgemiddelden van 11,0 minuten of minder (naar beneden afronden, anders wordt de kans groter dan $\alpha$).

Valkuilen

• $H_0:\mu \ge 800$ opschrijven. De nulhypothese is altijd enkelvoudig: $\mu ={\mu }_0$.
• $H_0$ en $H_1$ verwisselen. $H_0$ is de bewering die in twijfel wordt getrokken.
• Bij een eenzijdige toets met $\frac{1}{2}\alpha$ vergelijken, of bij een tweezijdige toets met $\alpha$.
• Bij een rechtszijdige toets invNorm met $\alpha$ invullen: $g=\text{invNorm}(1-\alpha ,\dots )$, want invNorm werkt met de oppervlakte links.
• Een grens verkeerd afronden. Linkszijdig rond je $g$ naar beneden af, rechtszijdig naar boven.

Test jezelf

Een fabrikant beweert dat de levensduur gemiddeld 800 uur is. Een consumentenorganisatie denkt dat het minder is. Geef $H_0$ en $H_1$.

$H_0:\mu =800$ en $H_1:\mu <800$ (linkszijdig).

${\mu }_X=85$, ${\sigma }_X=15$, $H_1:{\mu }_X>85$, $\alpha =0,10$, $n=30$. Stel het beslissingsvoorschrift op.

$g=\text{invNorm}(0.90,85,\frac{15}{\sqrt{30}})\approx 88,51$. Verwerp $H_0$ als $\overline{X}\ge 88,6$ (naar boven afronden).

Batterijen: $H_0:\mu =800$, $H_1:\mu <800$, ${\sigma }_{\overline{X}}=4$, $\alpha =0,025$. Het steekproefgemiddelde is 793,8. Conclusie?

$P(\overline{X}\le 793,8)=\text{normalcdf}(-10^{99},793.8,800,4)\approx 0,061>\alpha$, dus $H_0$ niet verwerpen. Er is geen aanleiding de fabrikant in twijfel te trekken.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave 47–48 · uitwerking: beslissingsvoorschrift links, rechts en tweezijdig
• H14 opgave 49–A51 · uitwerking: welke kant op toetsen?
• H14 opgave O52 en A53 · uitwerking: enkelvoudige nulhypothese
• H14 diagnostische toets 7 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 19 · uitwerking: cilinders en zuigers, met verschil van normale variabelen

Bronnen

• §14.4 Theorie A: Eenzijdig toetsen (blz. 87)
• Overzicht normale toetsen en §14.4 Theorie B: Overschrijdingskans bij eenzijdige toetsen (blz. 88)
• Overzicht overschrijdingskansen, Voorbeeld en Werkschema (blz. 89)
• §14.4 Theorie C: Enkelvoudige nulhypothese (blz. 91)
• Terugblik §14.4 (blz. 92)
• Diagnostische toets 7 (blz. 103)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Hypothesen toetsen
• Normale verdeling

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Binomiale toetsen