Binomiale toetsen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 14. “Bij welke aantallen zal men de zuiverheid van het rad niet in twijfel trekken?”, “Is er bij α = 0,01 aangetoond dat het gemiddelde inderdaad is toegenomen?” (diagnostische toets 8–9). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• De toetsingsgrootheid $X$ beschrijven: een aantal, binomiaal verdeeld met $n$ en $p_0$.
• De overschrijdingskans met binomcdf berekenen en met $\alpha$ of $\frac{1}{2}\alpha$ vergelijken.
• Het beslissingsvoorschrift opstellen met een tabel op de GR (links, rechts en tweezijdig).
• Bij een tweezijdige toets met de verwachtingswaarde $n\cdot p_0$ bepalen welke staart je neemt.
• Eerst $p$ uit een normale verdeling halen en dan binomiaal toetsen.

De kern

$X$ = het aantal elementen in de steekproef met een bepaald kenmerk. Onder $H_0$ is $X$ binomiaal verdeeld met $n$ = de steekproefomvang en $p=p_0$.

	linkszijdig	rechtszijdig	tweezijdig
hypothesen	$H_0:p=p_0$, $H_1:p<p_0$	$H_0:p=p_0$, $H_1:p>p_0$	$H_0:p=p_0$, $H_1:p\ne p_0$
overschrijdingskans van $k$	$P(X\le k)$	$P(X\ge k)$	$P(X\le k)$ als $k<n{p}_0$, $P(X\ge k)$ als $k>n{p}_0$
verwerp $H_0$ als	$P(X\le k)\le \alpha$	$P(X\ge k)\le \alpha$	overschrijdingskans $\le \frac{1}{2}\alpha$
beslissingsvoorschrift	verwerp als $X\le g$: grootste $g$ met $P(X\le g)\le \alpha$	verwerp als $X\ge g$: kleinste $g$ met $P(X\ge g)\le \alpha$	verwerp als $X\le g_l$ of $X\ge g_r$, beide staarten $\le \frac{1}{2}\alpha$

Op de GR. $P(X\le g)=\text{binomcdf}(n,p_0,g)$ en $P(X\ge g)=1-P(X\le g-1)=1-\text{binomcdf}(n,p_0,g-1)$. Voor een beslissingsvoorschrift voer je in $y_1=\text{binomcdf}(n,p_0,x)$ of $y_1=1-\text{binomcdf}(n,p_0,x-1)$ en zoek je in de tabel de overgang.

Enkelvoudig. Ook hier is $H_0$ altijd $p=p_0$. Beweert een fabrikant “hoogstens 10%”, dan neem je $H_0:p=0,1$ en niet $p\le 0,1$.

Zo wordt het gevraagd

• “Bij welke aantallen zal men de zuiverheid van het rad niet in twijfel trekken bij een significantieniveau van 0,05?” (diagnostische toets 8a, tweezijdig beslissingsvoorschrift).
• “Er wordt 70 keer een van de getallen 6 tot en met 11 aangewezen. Is er bij α = 0,01 aanleiding te vermoeden dat het rad niet zuiver is?” (diagnostische toets 8b, overschrijdingskans).
• “Toon aan dat de kans dat een pak koffie minder dan 1000 gram weegt 0,115 is. … Is er bij een significantieniveau van 1% aangetoond dat het gemiddelde inderdaad is toegenomen?” (diagnostische toets 9, normaal en binomiaal).
• “Bereken het kleinste aantal patiënten waarbij het middel een positieve uitwerking moet hebben opdat de bewering niet wordt verworpen.” (opgave 59).

Uitgewerkt voorbeeld

Rad van avontuur (vergelijk H14 diagnostische toets 8)

Een rad heeft 20 gelijke sectoren. Men telt hoe vaak een van de getallen 6 tot en met 11 wordt aangewezen.

a 100 keer draaien, $\alpha =0,05$. Bij welke aantallen trekt men de zuiverheid niet in twijfel?

1. $X$ = het aantal keer dat een van de getallen 6 tot en met 11 wordt aangewezen. $X$ is binomiaal verdeeld met $n=100$ en $p=\frac{6}{20}=0,3$.
2. $H_0:p=0,3$, $H_1:p\ne 0,3$, $\alpha =0,05$. Verwerp $H_0$ als $X\le g_l$ of $X\ge g_r$.
3. Grootste $g_l$ met $P(X\le g_l)\le 0,025$: tabel van $y_1=\text{binomcdf}(100,0.3,x)$ geeft $x=20$: 0,0165 en $x=21$: 0,0288, dus $g_l=20$.
4. Kleinste $g_r$ met $P(X\ge g_r)\le 0,025$: tabel van $y_1=1-\text{binomcdf}(100,0.3,x-1)$ geeft $x=39$: 0,0340 en $x=40$: 0,0210, dus $g_r=40$.
5. Verwerp $H_0$ als $X\le 20$ of $X\ge 40$. Bij de aantallen 21 tot en met 39 trekt men de zuiverheid niet in twijfel.

b 200 keer draaien, 70 keer 6 tot en met 11, $\alpha =0,01$.

1. $n\cdot p=200\cdot 0,3=60$ en $70>60$, dus de overschrijdingskans is $P(X\ge 70)$.
2. $P(X\ge 70)=1-\text{binomcdf}(200,0.3,69)\approx 0,073$
3. $0,073>\frac{1}{2}\alpha =0,005$, dus $H_0$ niet verwerpen: geen aanleiding om te vermoeden dat het rad niet zuiver is.

Controle met scipy: $g_l=20$, $g_r=40$, 0,0728 ✓

Eerst normaal, dan binomiaal (vergelijk H14 diagnostische toets 9)

Pakken koffie: gewicht normaal verdeeld met $\mu =1006$ g en $\sigma =5$ g. Na bijstellen weegt in een steekproef van 250 pakken er 18 minder dan 1000 g. Is bij $\alpha =0,01$ aangetoond dat het gemiddelde is toegenomen?

1. Oude situatie: $P(\text{pak}<1000)=\text{normalcdf}(-10^{99},1000,1006,5)\approx 0,115$
2. $X$ = het aantal pakken onder 1000 g, binomiaal met $n=250$ en $p=0,1150\dots$ Een hoger gemiddelde betekent minder lichte pakken: $H_0:p=0,115$, $H_1:p<0,115$.
3. $P(X\le 18)=\text{binomcdf}(250,0.1150\dots ,18)\approx 0,017$
4. $0,017>\alpha =0,01$, dus $H_0$ niet verwerpen: het is niet aangetoond dat het gemiddelde is toegenomen.

Valkuilen

• $P(X\ge k)$ uitrekenen als $1-\text{binomcdf}(n,p,k)$. Het is $1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$.
• Bij een tweezijdige toets de kant kiezen op gevoel. Vergelijk $k$ met de verwachtingswaarde $n\cdot p_0$.
• Bij een beslissingsvoorschrift de grens één te ver nemen. Linkszijdig: de grootste $g$ met $P(X\le g)\le \alpha$; rechtszijdig: de kleinste $g$ met $P(X\ge g)\le \alpha$.
• De richting van $H_1$ omdraaien als $X$ het “slechte” aantal telt. Minder lichte pakken betekent $p$ kleiner, dus linkszijdig.
• De binomiale verdeling gebruiken bij trekken zonder terugleggen uit een kleine groep (opgave D66: daar hoort de hypergeometrische berekening).

Test jezelf

$n=100$, $H_0:p=0,42$, $H_1:p>0,42$, $\alpha =0,05$. Stel het beslissingsvoorschrift op.

Tabel van $y_1=1-\text{binomcdf}(100,0.42,x-1)$: $x=50$ geeft 0,065 en $x=51$ geeft 0,043. Verwerp $H_0$ als $X\ge 51$.

Zuivere dobbelsteen? $n=100$, $H_0:p=\frac{1}{6}$, $H_1:p\ne \frac{1}{6}$, $\alpha =0,05$. Geef $g_l$ en $g_r$.

$P(X\le 9)\approx 0,0213$ en $P(X\le 10)\approx 0,0427$, dus $g_l=9$. $P(X\ge 24)\approx 0,0379$ en $P(X\ge 25)\approx 0,0217$, dus $g_r=25$. Verwerp $H_0$ als $X\le 9$ of $X\ge 25$.

$n=50$, $H_0:p=0,6$, $H_1:p\ne 0,6$, $\alpha =0,10$. Het resultaat is 25. Conclusie?

$n\cdot p=30>25$, dus $P(X\le 25)=\text{binomcdf}(50,0.6,25)\approx 0,098>\frac{1}{2}\alpha =0,05$. $H_0$ niet verwerpen.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H14 opgave 55–A58 · uitwerking: eenzijdig met overschrijdingskans
• H14 opgave 59–A60 · uitwerking: beslissingsvoorschrift met de GR-tabel
• H14 opgave 61–62 · uitwerking: tweezijdig
• H14 opgave A63 en A65 · uitwerking: roulette, en normaal gevolgd door binomiaal
• H14 diagnostische toets 8–9 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 22 · uitwerking: roulette, links, rechts en tweezijdig

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: De binomiale verdeling (blz. 51)
• §14.5 Theorie A: Eenzijdige binomiale toets (blz. 93–94), met Voorbeeld (blz. 94)
• §14.5 Theorie B: Het beslissingsvoorschrift bij een binomiale toets (blz. 95), met Voorbeeld (blz. 96)
• §14.5 Theorie C: Tweezijdige binomiale toets (blz. 97)
• Overschrijdingskans bij tweezijdige binomiale toetsen, met Voorbeeld (blz. 98)
• Terugblik §14.5 (blz. 101)
• Diagnostische toets 8–9 (blz. 103)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Eenzijdig en tweezijdig toetsen
• Hypothesen toetsen
• Toepassingen van de normale verdeling (normaal en binomiaal)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)