Ellips als meetkundige plaats

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Construeren met een richtcirkel, en rekenen met $a$, $b$, $c$ zonder assenstelsel.

Wat moet je kunnen?

• Met het werkschema punten van een ellips construeren uit brandpunt $F$ en richtcirkel $c$.
• Uitleggen waarom $d(P,F_1)+d(P,F_2)=r=2a$.
• Rekenen met lange as $2a$, korte as $2b$, brandpuntsafstand $2c$: $a^2=b^2+c^2$.

De kern

Definitie. Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt binnen de cirkel. $F$ is een brandpunt, de cirkel een richtcirkel.

Werkschema (richtcirkel $c$ met middelpunt $M$, brandpunt $F$)

1. Teken een punt $V$ op $c$.
2. Teken de lijn $k$ door $M$ en $V$.
3. Teken de middelloodlijn $m$ van $FV$.
4. Het snijpunt van $k$ en $m$ is $P$.

Tweede brandpunt. $d(P,c)=PV=MV-MP=r-d(P,M)$ en $PV=d(P,F)$. Dus $d(P,M)+d(P,F)=r$ $M$ en $F$ spelen dezelfde rol: $M=F_1$, $F=F_2$.

Grootheid	Betekenis
$2a$	lange as = straal richtcirkel = $d(P,F_1)+d(P,F_2)$
$2b$	korte as
$2c$	brandpuntsafstand $F_1{F}_2$
$a^2=b^2+c^2$	want top $C$ op de korte as heeft $d(C,F_1)=a$

Zo wordt het gevraagd

• “Van een ellips is de straal van de richtcirkel 5 en de brandpuntsafstand 4. Bereken de lengte van de korte as.” (opgave 26).
• “De punten A en C zijn brandpunten van de ellips e die door de middens van de zijden AB en CD gaat. Onderzoek met een berekening of e ook door de middens van AD en BC gaat.” (diagnostische toets 6).
• Tekenen: brandpunten en richtcirkels bij gegeven toppen (diagnostische toets 5).

Uitgewerkt voorbeeld

Ligt dit punt op de ellips? (vergelijk H9 diagnostische toets 6)

Rechthoek $ABCD$ met $AB=8$, $BC=6$. Ellips $e$ met brandpunten $A$ en $C$ gaat door het midden $E$ van $AB$. Gaat $e$ door het midden $F$ van $AD$?

1. Voor $E$: $d(E,A)+d(E,C)=4+\sqrt{4^2+6^2}=4+\sqrt{52}=4+2\sqrt{13}\approx 11,21$
2. Dus voor elk punt van $e$ is de som $4+2\sqrt{13}$.
3. Voor $F$: $d(F,A)+d(F,C)=3+\sqrt{3^2+8^2}=3+\sqrt{73}\approx 11,54$
4. $3+\sqrt{73}\ne 4+2\sqrt{13}$, dus $e$ gaat niet door $F$ (en door symmetrie ook niet door het midden van $BC$).

Valkuilen

• De straal van de richtcirkel gelijk nemen aan $a$ in plaats van $2a$.
• $a^2=b^2+c^2$ verwarren met de hyperbool, waar $c^2=a^2+b^2$.
• Vergeten dat het middelpunt van de richtcirkel het andere brandpunt is.

Test jezelf

De straal van de richtcirkel is 10 en de brandpuntsafstand 6. Hoe lang is de korte as?

$a=5$, $c=3$, $b=\sqrt{25-9}=4$: korte as $2b=8$.

De assen van een ellips zijn 6 en 8. Bereken de brandpuntsafstand.

$a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$: brandpuntsafstand $2\sqrt{7}$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 24 · uitwerking: werkschema en toelichting
• H9 opgave 25–26 · uitwerking: $r=2a$ en $a^2=b^2+c^2$
• H9 opgave A27 · uitwerking: snijpunten met een cirkel, en een hoekenbewijs
• H9 diagnostische toets 5 · uitwerking: brandpunten en richtcirkels tekenen
• Gemengde opgave 2 · uitwerking: $d(P,M)=d(P,F)=d(P,c)$

Bronnen

• §9.1 Theorie B: Ellipsen en hyperbolen (blz. 12–13)
• §9.2 Theorie C: De ellips als meetkundige plaats (blz. 20–21)
• §9.2 opgave R29: $a<b$ (blz. 23)
• Terugblik (blz. 27)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Meetkundige plaatsen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijneigenschappen ellips en hyperbool
• Vergelijking van een ellips