Vergelijking van een ellips

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Komt terug in bijna elke kegelsnede-opgave: toppen en brandpunten berekenen, of een vergelijking opstellen uit toppen, brandpunten, een punt of een richtcirkel.

Wat moet je kunnen?

• Een vergelijking opstellen uit toppen en brandpunten, uit brandpunten en een punt, of uit een brandpunt en een richtcirkel.
• Van een ellips als $4x^2+25y^2+16x-84=0$ de toppen en brandpunten berekenen.
• Zien of een ellips liggend ($a>b$) of staand ($a<b$) is.

De kern

Voor elk punt $P$ van de ellips geldt $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a$ (liggend). De lange as is $2a$, de korte as $2b$, de brandpuntsafstand $2c$.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{toppen }(\pm a,0)\text{ en }(0,\pm b)$

	Liggende ellips ($a>b$)	Staande ellips ($a<b$)
brandpunten	$(\pm c,0)$	$(0,\pm c)$
$c$	$c^2=a^2-b^2$	$c^2=b^2-a^2$
lange as	$2a$, langs de $x$-as	$2b$, langs de $y$-as

Onthoud: $c^2$ = groot kwadraat min klein kwadraat. In G&R hoort $a$ altijd bij $x$, ook als de ellips staand is.

Richtcirkel. Een richtcirkel heeft een brandpunt als middelpunt en de lange as als straal ($r=2a$ bij een liggende ellips). Het middelpunt van de richtcirkel is dus het andere brandpunt.

Verschoven ellips. $9(x-1{)}^2+4(y+5{)}^2=36$ ontstaat uit $9x^2+4y^2=36$ door de translatie $(1,-5)$. Bereken toppen en brandpunten van de onverschoven ellips en tel $(1,-5)$ erbij op.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel een vergelijking op van de ellips met toppen (−6, 0) en (6, 0) en brandpunten (−5, 0) en (5, 0).” (opgave 13, diagnostische toets 3).
• “Een ellips heeft richtcirkel (x + 3)² + y² = 100 en brandpunt (3, 0).” (opgave 14, A15b, diagnostische toets 4). Het middelpunt van de richtcirkel is het andere brandpunt en $r=2a$.
• “Bereken van de volgende ellipsen de coördinaten van de toppen en de brandpunten.” (opgave 19, diagnostische toets 5).
• “Bereken exact …”: antwoorden met wortels, zoals $\left(-2+\sqrt{21},0\right)$.

Uitgewerkt voorbeeld

Toppen en brandpunten (vergelijk H13 opgave 19b)

Bereken de toppen en brandpunten van $4x^2+25y^2+16x-84=0$.

1. Afsplitsen: $4(x^2+4x)+25y^2-84=0\Rightarrow 4((x+2{)}^2-4)+25y^2-84=0$
2. $4(x+2{)}^2+25y^2=100$: de translatie $(-2,0)$ van $4x^2+25y^2=100$
3. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$: $a=5$, $b=2$, liggend, $c^2=25-4=21$
4. Onverschoven: toppen $(\pm 5,0)$, $(0,\pm 2)$, brandpunten $(\pm \sqrt{21},0)$
5. Verschuiven: toppen $(-7,0)$, $(3,0)$, $(-2,-2)$, $(-2,2)$, brandpunten $\left(-2-\sqrt{21},0\right)$ en $\left(-2+\sqrt{21},0\right)$

Controle: vanuit top $(3,0)$ is de som van de afstanden tot de brandpunten $(5+\sqrt{21})+(5-\sqrt{21})=10=2a$ ✓

Uit brandpunten en een punt (vergelijk H13 opgave 13e)

Stel een vergelijking op van de ellips met brandpunten $(-3,0)$ en $(3,0)$ die door $(2,\sqrt{2})$ gaat.

1. $d((2,\sqrt{2}),(-3,0))=\sqrt{25+2}=3\sqrt{3}$ en $d((2,\sqrt{2}),(3,0))=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$
2. Som: $2a=4\sqrt{3}$, dus $a=2\sqrt{3}$ en $a^2=12$
3. $c=3$, dus $b^2=a^2-c^2=12-9=3$
4. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$

Controle: $\frac{4}{12}+\frac{2}{3}=1$ ✓

Valkuilen

• $c^2=a^2+b^2$ gebruiken, want dat is de formule van de hyperbool. Bij de ellips is $c$ altijd kleiner dan de lange halve as.
• Bij een staande ellips toch $c^2=a^2-b^2$ nemen, wat een negatief getal oplevert.
• Niet eerst delen tot "$=1$": van $4x^2+5y^2=80$ is $a^2=20$, niet $a^2=4$.
• Bij afsplitsen de factor vergeten: $9((x-1{)}^2-1)$ geeft $-9$, niet $-1$.
• De straal van de richtcirkel is $2a$, niet $a$.
• In D20 is $a$ een parameter in de vergelijking, niet de halve as. Lees goed welke $a$ bedoeld wordt.

Test jezelf

Geef de brandpunten van $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Liggend, $c^2=25-16=9$: brandpunten $(-3,0)$ en $(3,0)$.

Bereken de toppen en brandpunten van $x^2+4y^2=36$.

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$: toppen $(\pm 6,0)$ en $(0,\pm 3)$. $c^2=36-9=27$, dus brandpunten $\left(\pm 3\sqrt{3},0\right)$.

Stel een vergelijking op van de ellips met toppen $(0,\pm 5)$ en brandpunten $(0,\pm 4)$.

Staand, $b=5$, $c=4$, $a^2=b^2-c^2=9$: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$.

Een ellips heeft brandpunt $(-2,0)$ en richtcirkel $(x-2{)}^2+y^2=36$. Geef de vergelijking.

Andere brandpunt $(2,0)$, middelpunt $O$. $2a=6$, dus $a=3$, $c=2$ en $b^2=9-4=5$: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 13a–d · uitwerking: vergelijking uit toppen en brandpunten
• H13 opgave A15 · uitwerking: met een punt en met een richtcirkel
• H13 opgave D16 · uitwerking: $p{x}^2+q{y}^2=60$ door twee punten
• H13 opgave D20 · uitwerking: parameter zo kiezen dat $(7,-2)$ een brandpunt is
• H13 diagnostische toets 3–5 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: Ellips en hyperbool (blz. 10): definitie met richtcirkel
• §13.2 opgave 11 en Theorie A: De vergelijking van een ellips (blz. 20–21)
• §13.2 Theorie B: Toppen en brandpunten van een ellips, met Voorbeeld (blz. 22)
• Terugblik §13.2 (blz. 31)
• Diagnostische toets 3–5 (blz. 46)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Ellips als meetkundige plaats
• Vergelijking van een cirkel (kwadraatafsplitsen, richtcirkel)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kegelsneden onderzoeken
• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede