Raaklijneigenschappen ellips en hyperbool

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Bewijsvragen (hoeken gelijk, punten op een cirkel) en constructies van brandpunten en polen.

Wat moet je kunnen?

• Beide eigenschappen formuleren en bewijzen met de richtcirkel (opgave 45 en 49).
• Een ontbrekend brandpunt of de pool construeren.
• De spiegeleigenschap toepassen: een straal uit $F_1$ gaat na spiegeling door $F_2$ (ellips), of van $F_1$ af (hyperbool).

De kern

Raaklijneigenschap ellips. De raaklijn in $P$ maakt gelijke hoeken met $P{F}_1$ en $P{F}_2$. Raaklijneigenschap hyperbool. De raaklijn in $P$ maakt gelijke hoeken met $P{F}_1$ en $P{F}_2$.

	Ellips	Hyperbool
$V$	snijpunt van $F_{1}P$ (verlengd) met richtcirkel	snijpunt van $F_{1}P$ met richtcirkel
raaklijn	middelloodlijn $m$ van $V{F}_2$	middelloodlijn $m$ van $V{F}_2$
ligging raaklijn	deelt de buitenhoek van $\angle F_{1}P{F}_2$	deelt $\angle F_{1}P{F}_2$ zelf
spiegeling	straal uit $F_1$ → door $F_2$	straal uit $F_2$ → alsof uit $F_1$

Bewijs ellips (opgave 45). $M$ is het midden van $V{F}_2$. $M{F}_2=MV$, $\angle PM{F}_2=\angle PMV=90°$, $PM=PM$: $△PM{F}_2\cong △PMV$ (ZHZ), dus $\angle P_3=\angle P_4$. Met overstaande hoeken $\angle P_1=\angle P_4$ volgt $\angle P_1=\angle P_3$.

Waarom raaklijn? Voor $Q\ne P$ op $m$: $QR<QV=Q{F}_2$ (afstand punt tot cirkel), dus $Q$ ligt buiten de ellips.

Zo wordt het gevraagd

• “Gebruik de figuur om te bewijzen dat het punt Q buiten de ellips ligt en dat ∠P₁ = ∠P₃.” (opgave 45, 49).
• “De lijn AB is de poollijn van het punt P. Teken het brandpunt F₂ van e.” (opgave 46).
• “Bewijs dat F₁ en F₂ op de omgeschreven cirkel van driehoek ABP liggen.” (A48, A52).
• “Bewijs dat MS = ½(F₁P + F₂P).” (gemengde opgave 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Tweede brandpunt construeren (vergelijk H9 opgave 46)

$A$ en $B$ liggen op ellips $e$, $AB$ is de poollijn van $P$ (dus $PA$ en $PB$ zijn raaklijnen), $F_1$ is gegeven. Teken $F_2$.

1. Raaklijneigenschap in $A$: $PA$ maakt gelijke hoeken met $A{F}_1$ en $A{F}_2$. Spiegel dus de lijn $A{F}_1$ in de raaklijn $PA$: $F_2$ ligt op de gespiegelde lijn.
2. Doe hetzelfde in $B$ met de raaklijn $PB$.
3. Het snijpunt van de twee gespiegelde lijnen is $F_2$.

Valkuilen

• Bij de ellips de binnenbissectrice van $\angle F_{1}P{F}_2$ als raaklijn nemen. Die staat er juist loodrecht op (dat is de normaal).
• Bij het bewijs “overstaande hoeken” of “middelloodlijn” als reden weglaten.
• Vergeten te bewijzen dat $m$ raakt (andere punten liggen buiten).

Test jezelf

Een lichtstraal vertrekt uit brandpunt $F_1$ van een elliptische spiegel. Waar gaat hij na één spiegeling doorheen?

Door $F_2$ (raaklijneigenschap ellips).

Wat is de normaal in $P$ van een ellips, uitgedrukt in de brandpunten?

De bissectrice van $\angle F_{1}P{F}_2$ (de raaklijn deelt de buitenhoek, de normaal staat er loodrecht op).

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 45 · uitwerking: bewijs voor de ellips
• H9 opgave 47 · uitwerking: lichtstralen in een ellips
• H9 opgave 49 · uitwerking: bewijs voor de hyperbool
• H9 diagnostische toets 11–12 · uitwerking: richtcirkel en pool construeren
• Gemengde opgave 10 · uitwerking: projectie van een brandpunt op de raaklijn

Bronnen

• §9.3 opgave 45 (blz. 31)
• §9.3 Theorie B: Raaklijneigenschap ellips (blz. 32)
• §9.3 Theorie C: Raaklijneigenschap hyperbool (blz. 33)
• Terugblik: Raaklijneigenschappen, Pool en poollijn (blz. 35)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Ellips als meetkundige plaats
• Hyperbool als meetkundige plaats
• Raaklijneigenschap parabool

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Pool en poollijn