Meetkundige plaatsen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Tekenopgaven op een werkblad (“Teken de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt …”) en korte bewijzen met congruente driehoeken.

Wat moet je kunnen?

• De vier standaard meetkundige plaatsen herkennen en tekenen.
• Samengestelde voorwaarden tekenen, met $\wedge$, $\le$ en $\ge$ (gebieden in plaats van lijnen).
• Afstanden tot een cirkel gebruiken: $d(P,c)=|d(P,M)-r|$.
• Bewijzen dat een punt met gelijke afstanden op de middelloodlijn of bissectrice ligt (en de omkering).

De kern

Voorwaarde	Meetkundige plaats
$d(P,A)=d(P,B)$	middelloodlijn van $AB$
$d(P,k)=d(P,l)$, $k$ en $l$ snijden	bissectricepaar van $k$ en $l$ (twee lijnen)
$d(P,k)=d(P,l)$, $k\parallel l$	middenparallel van $k$ en $l$
$d(P,M)=r$	cirkel met middelpunt $M$ en straal $r$
$d(P,k)=r$	twee lijnen evenwijdig aan $k$ op afstand $r$

Afstand tot een cirkel $c$ (middelpunt $M$, straal $r$): meet langs de lijn door $M$ en $P$. Buiten $c$: $d(P,c)=d(P,M)-r$; binnen $c$: $d(P,c)=r-d(P,M)$.

Bewijzen: laat zien dat twee driehoeken congruent zijn (ZZZ, ZHZ, HZH, ZZR). Bij de middelloodlijn: $PA=PB$, $AD=BD$, $PD=PD$, dus ZZZ. Bij de bissectrice: rechthoekige driehoeken met gemeenschappelijke schuine zijde, dus ZZR.

Zo wordt het gevraagd

• “Teken de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt d(P, c) ≥ r ∧ d(P, l) ≤ r.” (opgave 15–16, diagnostische toets 1–2). Arceer een gebied en laat hulplijnen staan.
• “De meetkundige plaats vertoont twee knikken. Bewijs dat deze knikken op de bissectrice van hoek B liggen.” (A23).
• “Bewijs de volgende stelling. Elk punt met gelijke afstanden tot de punten A en B ligt op de middelloodlijn.” (opgave 12–13).

Uitgewerkt voorbeeld

Gelijke afstand tot een punt en een figuur (vergelijk H9 opgave 20)

Teken de punten $P$ met $d(P,\text{rechthoek }ABCD)=d(P,E)$, met $E$ binnen de rechthoek.

1. Splits op per zijde: voor de punten die het dichtst bij zijde $AB$ liggen, geldt $d(P,AB)=d(P,E)$. Dat is een deel van de parabool met brandpunt $E$ en richtlijn $AB$. Zo ook voor $BC$, $CD$ en $AD$.
2. Teken alleen de paraboolstukken die echt het dichtst bij de rechthoek liggen. In de figuur van het boek (brede rechthoek) zijn dat alleen de parabolen met richtlijnen $AB$ en $CD$.
3. Twee stukken gaan in elkaar over waar $P$ even ver van beide zijden ligt: hier op de middenparallel van $AB$ en $CD$, bij twee aangrenzende zijden op een bissectrice.
4. Resultaat: een gesloten kromme uit paraboolstukken, met knikken op die overgangslijnen.

Controle met de uitwerking: “Bij het tekenen blijkt het voldoende te zijn de parabolen met brandpunt $E$ en richtlijnen $AB$ en $CD$ te tekenen.” ✓

Valkuilen

• Bij twee snijdende lijnen maar één bissectrice tekenen. Het is een paar loodrechte lijnen.
• $d(P,c)$ meten tot het middelpunt in plaats van tot de cirkel.
• Bij $d(P,k)=r$ maar één lijn tekenen; er ligt er ook één aan de andere kant.
• Hulplijnen weggummen. Laat ze staan, zodat je werkwijze te zien is.

Test jezelf

Wat is de meetkundige plaats van de punten die even ver van twee evenwijdige lijnen $k$ en $l$ liggen?

De middenparallel van $k$ en $l$.

$c$ heeft straal 3 en $d(P,M)=5$. Wat is $d(P,c)$? En als $d(P,M)=1$?

$5-3=2$; binnen de cirkel $3-1=2$.

Welke congruentiegeval gebruik je om te bewijzen dat een punt met $PA=PB$ op de middelloodlijn ligt?

ZZZ: $PA=PB$, $AD=DB$ ($D$ midden van $AB$) en $PD$ gemeenschappelijk. Daaruit volgt $\angle PDA=\angle PDB=90°$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 16 · uitwerking: twee cirkels, met ongelijkheden
• H9 opgave 21 · uitwerking: lijn en cirkelboog, met bewijs
• H9 opgave A23 · uitwerking: benen van een hoek en een punt
• H9 diagnostische toets 1–4 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 4 · uitwerking: halve cirkel en punten

Bronnen

• Voorkennis Theorie A: Bewijzen met middelloodlijn en bissectrice (blz. 8)
• §9.1 Meetkundige plaatsen met GeoGebra (blz. 9)
• §9.2 opgave 12–14 (blz. 15)
• §9.2 Theorie A: Middelloodlijn, bissectricepaar, middenparallel en cirkel (blz. 16)
• Terugblik (blz. 27)
• Diagnostische toets 1–4 (blz. 36)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Gelijkvormige en congruente driehoeken
• Meetkundige stellingen cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Parabool als meetkundige plaats
• Ellips als meetkundige plaats
• Hyperbool als meetkundige plaats