Krachten en snelheden met complexe getallen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 10. “Bereken de grootte en de richting van de resultante van deze krachten. Rond af op gehelen” en “Bereken de werkelijke snelheid en de koers van het schip” (diagnostische toets 14–15). H10 staat niet in de planner van dit jaar; op aanwijzing van de leerling meegenomen.

Wat moet je kunnen?

• Een kracht of snelheid als complex getal schrijven vanuit een figuur.
• De resultante berekenen met de GR ($|z_1+z_2+\dots |$ en $\arg (\dots )$).
• Een onbekende kracht vinden uit een evenwicht ($z_1+z_2+z_3=0$).
• Koersen omrekenen naar hoeken, en snelheden ten opzichte van water of lucht combineren.

De kern

Bij een vector met grootte $r$ en hoek $\phi$ met de positieve reële as hoort $z=r(\cos (\phi )+i\sin (\phi ))$ De resultante van krachten is de som $z_1+z_2+\dots$; de grootte is $|z_1+z_2+\dots |$ en de richting $\arg (z_1+z_2+\dots )$. Zet de GR op graden en gebruik de instelling $a+bi$.

Koers. De koers is de hoek van de bewegingsrichting met het noorden, met de klok mee (noord 0°, oost 90°, zuid 180°, west 270°). Bij koers $k$ hoort de hoek $\phi =90°-k$ met de positieve reële as.

richting	koers	$\phi$
noorden	0°	90°
noordoosten	45°	45°
zuidoosten	135°	−45°
noordwesten	315°	135° (of −225°)

Snelheden. De werkelijke snelheid = eigen snelheid (ten opzichte van water of lucht) + stroom- of windsnelheid. Zoek je de eigen snelheid, dan is $z_{\text{eigen}}=z_{\text{werkelijk}}-z_{\text{stroom}}$.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken de grootte en de richting van de resultante van deze krachten. Rond af op gehelen.” (diagnostische toets 14, opgave 66).
• “Bereken de grootte van F₁ en de hoek α” als het voorwerp in evenwicht is (opgave 67, A68).
• “Bereken de werkelijke snelheid en de koers van het schip.” en “Met hoeveel knopen moet de stuurman de snelheid verlagen om recht naar het noorden te gaan?” (diagnostische toets 15).

Uitgewerkt voorbeeld

Resultante (vergelijk H10 diagnostische toets 14)

Drie krachten: $F_1=1200$ N onder 20°, $F_2=400$ N onder −65° en $F_3=1500$ N onder 145° met de positieve reële as.

1. $z_1=1200(\cos (20°)+i\sin (20°))$, $z_2=400(\cos (-65°)+i\sin (-65°))$, $z_3=1500(\cos (145°)+i\sin (145°))$.
2. De GR geeft $|z_1+z_2+z_3|\approx 911$ en $\arg (z_1+z_2+z_3)\approx 86°$.
3. De resultante is 911 N en maakt een hoek van 86° met de positieve reële as.

Schip en stroming (vergelijk H10 diagnostische toets 15)

Een schip vaart op het kompas een koers van 40° met 8 knopen ten opzichte van het water. Het water stroomt met 3 knopen naar het noordwesten.

a Koers 40° geeft $\phi =50°$; noordwesten geeft $\phi =135°$.

1. $z_1=8(\cos (50°)+i\sin (50°))$ en $z_2=3(\cos (135°)+i\sin (135°))$.
2. De GR geeft $|z_1+z_2|\approx 8,8$ en $\arg (z_1+z_2)\approx 70°$.
3. Werkelijke snelheid ongeveer 8,8 knopen, koers $90°-70°=$ 20°.

b Recht naar het noorden: $\text{Re}(z_1+z_2)=0$ met $z_1=v(\cos (50°)+i\sin (50°))$.

1. $v\cos (50°)+3\cos (135°)=0$, dus $v=\frac{-3\cos (135°)}{\cos (50°)}\approx 3,3$.
2. Hij moet zijn snelheid met $8-3,3=$ 4,7 knopen verlagen.

Controle met Python (cmath) ✓

Valkuilen

• De GR op radialen laten staan.
• De koers direct als hoek gebruiken. Omrekenen: $\phi =90°-k$.
• “Stroomt naar het noordwesten” verwarren met “komt uit het noordwesten”. De wind of stroming heeft de richting waarin hij gaat.
• Bij een evenwicht de onbekende kracht gelijkstellen aan de resultante in plaats van aan min de resultante.

Test jezelf

Welk complex getal hoort bij een snelheid van 200 km/uur met koers 150°?

$\phi =90°-150°=-60°$, dus $z=200(\cos (-60°)+i\sin (-60°))$.

Een ijsschots drijft met 3 km/uur naar het zuidoosten; iemand loopt erop met 4 km/uur naar het zuiden. Resulterende snelheid?

$z_1=3(\cos (-45°)+i\sin (-45°))$ en $z_2=4(\cos (-90°)+i\sin (-90°))$. $|z_1+z_2|\approx 6,5$ km/uur en $\arg \approx -70,9°$, dus koers $90°+70,9°\approx 161°$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H10 opgave O65 · uitwerking: somvector tekenen en berekenen
• H10 opgave 66–A68 · uitwerking: resultante en evenwicht
• H10 opgave 69–A71 · uitwerking: zwemmer, vliegtuig, wind
• H10 diagnostische toets 14–15 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §10.5 Theorie A: Krachten en complexe getallen (blz. 72), met Voorbeeld
• §10.5 Theorie B: Snelheden en complexe getallen (blz. 73)
• §10.5 Voorbeeld: ijsschots (blz. 74)
• Terugblik §10.5 (blz. 75)
• Diagnostische toets 14–15 (blz. 77)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Het complexe vlak
• Vector
• Kinematica met vectoren

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)