Het complexe vlak

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 10. “Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt …” en “Bereken exact de modulus en de hoofdwaarde van het argument” (diagnostische toets 3–5). H10 staat niet in de planner van dit jaar; op aanwijzing van de leerling meegenomen.

Wat moet je kunnen?

• Complexe getallen tekenen als punt of vector; optellen en aftrekken met de parallellogramconstructie.
• De modulus $|z|$ en de hoofdwaarde $\text{Arg}(z)$ berekenen, exact of met de GR.
• Gebieden tekenen: $|z-c|=r$ (cirkel), $\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=0$ (lijn), $\alpha \le \text{Arg}(z)\le \beta$ (sector).

De kern

Complexe vlak. Horizontaal de reële as, verticaal de imaginaire as. Het getal $z=a+bi$ hoort bij het punt $(a,b)$ en de vector $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$.

$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\tan (\phi )=\frac{b}{a}$

• Argument $\phi =\arg (z)$: de draaiingshoek van de vector. Elk getal $z\ne 0$ heeft oneindig veel argumenten, die een veelvoud van $2\pi$ verschillen.
• Hoofdwaarde $\text{Arg}(z)$: het argument met $-\pi <\text{Arg}(z)\le \pi$. Let op het kwadrant: ${\tan }^{-1}$ geeft alleen hoeken tussen $-\frac{1}{2}\pi$ en $\frac{1}{2}\pi$. De GR heeft angle (TI) of Arg (Casio).
• $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$ en $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$. Maar $|z_1+z_2|\ne |z_1|+|z_2|$ in het algemeen.

Gebieden in het complexe vlak

voorwaarde	figuur
$|z|=r$, of $z\cdot \overline{z}=r^2$	cirkel met middelpunt $0$ en straal $r$
$|z-(p+qi)|=r$	cirkel met middelpunt $p+qi$ en straal $r$ (afstand van $z$ tot $p+qi$)
lineair verband tussen $\text{Re}(z)$ en $\text{Im}(z)$	rechte lijn
$\alpha \le \text{Arg}(z)\le \beta$	sector tussen twee halve lijnen vanuit $0$

Let op: $|z+2|=|z-(-2)|$ is de cirkel met middelpunt $-2$.

Zo wordt het gevraagd

• “Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt a |z| = 2, b Re(z) + Im(z) = 0, c Re(z) = 2 − Im(z), d z·z̄ = 10.” (diagnostische toets 3).
• “Bereken exact de modulus en de hoofdwaarde van het argument.” (diagnostische toets 4, opgave 24–25).
• “Teken … |z − 1 − i| = 1; 1 ≤ Re(z) ≤ 4 ∧ −⅙π ≤ Arg(z) ≤ ⅙π.” (diagnostische toets 5, opgave 26–A29).

Uitgewerkt voorbeeld

Modulus en hoofdwaarde (vergelijk H10 diagnostische toets 4)

a $z=-2+2i$ (kwadrant II)

1. $|z|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
2. $\tan (\phi )=\frac{2}{-2}=-1$. In kwadrant II: $\text{Arg}(z)=\frac{3}{4}\pi$.

b $z=-2-2i\sqrt{3}$ (kwadrant III)

1. $|z|=\sqrt{4+12}=4$
2. $\tan (\phi )=\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}$. In kwadrant III: $\text{Arg}(z)=-\frac{2}{3}\pi$ (niet $\frac{1}{3}\pi$).

d $z=3\sqrt{3}-3i$: $|z|=\sqrt{27+9}=6$ en $\tan (\phi )=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ in kwadrant IV, dus $\text{Arg}(z)=-\frac{1}{6}\pi$.

Controle met sympy (Abs en arg) ✓

Gebied tekenen (vergelijk H10 Voorbeeld blz. 50)

Teken alle $z$ met a $\text{Re}(z)+2\text{Im}(z)=3$ en b $z\cdot \overline{z}=5$.

• a Lineair verband: een lijn. Tabel: $\text{Re}=3,\text{Im}=0$ en $\text{Re}=1,\text{Im}=1$. Dus de lijn door $3$ en $1+i$.
• b $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=5$, dus $|z|=\sqrt{5}$: de cirkel met middelpunt $0$ en straal $\sqrt{5}$, door $2+i$.

Valkuilen

• De hoofdwaarde uit ${\tan }^{-1}$ halen zonder op het kwadrant te letten.
• $\text{Arg}(z)$ in het interval $[0,2\pi )$ geven. De hoofdwaarde ligt in $⟨-\pi ,\pi ]$.
• Bij $|z+1-2i|=3$ het middelpunt $1-2i$ nemen. Het is $-1+2i$.
• Bij $z\cdot \overline{z}=10$ de straal 10 nemen. De straal is $\sqrt{10}$.

Test jezelf

Bereken exact $|z|$ en $\text{Arg}(z)$ van $z=-3i$.

$|z|=3$ en $z$ ligt op de negatieve imaginaire as, dus $\text{Arg}(z)=-\frac{1}{2}\pi$.

Welke figuur is $|z-1-i|=1$?

$|z-(1+i)|=1$: de cirkel met middelpunt $1+i$ en straal 1.

Bereken $|z|$ en $\text{Arg}(z)$ van $z=-4-4i$.

$|z|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, $\tan (\phi )=1$ in kwadrant III, dus $\text{Arg}(z)=-\frac{3}{4}\pi$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H10 opgave 17–A19 · uitwerking: tekenen, modulus, lijnen en cirkels
• H10 opgave 20–21 · uitwerking: $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$ en $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$ aantonen
• H10 opgave 24–25 · uitwerking: modulus en hoofdwaarde
• H10 opgave 26–A29 · uitwerking: gebieden tekenen
• H10 diagnostische toets 3–5 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §10.2 Theorie A: Vectoren en complexe getallen (blz. 49–50)
• §10.2 Voorbeeld: gebieden tekenen (blz. 50)
• §10.2 Theorie B: Het argument van een complex getal (blz. 52–53), met Voorbeeld
• Terugblik §10.2 (blz. 55)
• Diagnostische toets 3–5 (blz. 76)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Rekenen met complexe getallen
• Vector
• Vergelijking van een cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Poolcoördinaten en de formule van Euler
• Krachten en snelheden met complexe getallen