Kinematica met vectoren

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als opgave met “bewegingsvergelijkingen”, met 2–3 vragen over snelheid, raaklijn aan de baan of het moment waarop iets gebeurt.

Wat moet je kunnen?

• De snelheidsvector en baansnelheid berekenen.
• De raaklijn aan de baan opstellen met de snelheidsvector als richting.
• De versnellingsvector en baanversnelling bepalen.

De kern

Grootheid	Formule
plaats	$(x(t),y(t))$
snelheidsvector	$\vec{v}(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$
baansnelheid	$v(t)=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}$
versnellingsvector	$\vec{a}(t)=(x^{\prime \prime }(t),y^{\prime \prime }(t))$
baanversnelling	$\sqrt{x^{\prime \prime }(t{)}^2+y^{\prime \prime }(t{)}^2}$

• Raaklijn in $t=t_0$: door het punt $(x(t_0),y(t_0))$ met richtingsvector $\vec{v}(t_0)$; rc $=\frac{y^{\prime }(t_0)}{x^{\prime }(t_0)}$ (als $x^{\prime }(t_0)\ne 0$).
• Horizontale raaklijn: $y^{\prime }(t)=0$ (en $x^{\prime }(t)\ne 0$); verticale: $x^{\prime }(t)=0$.
• Zie Parametervoorstelling en Afgeleide functie.

Zo wordt het gevraagd

• Snelheidsvector gegeven, baansnelheid is de lengte daarvan (2026-1 vraag 10).
• $x^{\prime }(t)$ en $y^{\prime }(t)$ bepalen de richting van de raaklijn aan de baan in het zelfsnijpunt (2026-2 vraag 9).
• “Bewijs dat op t = 5 de snelheid van P inderdaad … keer zo groot is als die van Q” (2025-2 vraag 2, 4p).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn aan de baan (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 9)

$x(t)=t^2$, $y(t)=t^3-3t$. Geef een vergelijking van de raaklijn in $t=2$ en bereken de baansnelheid daar.

1. $x^{\prime }(t)=2t$, $y^{\prime }(t)=3t^2-3$; in $t=2$: $\vec{v}=(4,9)$
2. Punt: $(x(2),y(2))=(4,2)$
3. rc $=\frac{9}{4}$: raaklijn $y=\frac{9}{4}(x-4)+2$, dus $y=\frac{9}{4}x-7$
4. Baansnelheid: $\sqrt{4^2+9^2}=\sqrt{97}\approx 9,85$

Constante baansnelheid

$x(t)=3\cos t$, $y(t)=3\sin t$ (cirkelbeweging).

1. $\vec{v}=(-3\sin t,3\cos t)$
2. $v=\sqrt{9{\sin }^{2}t+9{\cos }^{2}t}=\sqrt{9}=3$: constant.
3. $\vec{a}=(-3\cos t,-3\sin t)$: wijst steeds naar het middelpunt. ✓

Valkuilen

• De baansnelheid (getal) verwarren met de snelheidsvector.
• Bij de raaklijn de afgeleiden invullen in plaats van het punt $(x(t_0),y(t_0))$.
• Bij een horizontale raaklijn $x^{\prime }(t)=0$ nemen in plaats van $y^{\prime }(t)=0$.

Test jezelf

$\vec{v}(t)=(3,4)$. Wat is de baansnelheid?

$\sqrt{9+16}=$ 5.

Wanneer heeft de baan een verticale raaklijn?

Als $x^{\prime }(t)=0$ (en $y^{\prime }(t)\ne 0$).

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 10–11: snelheidsvector en baansnelheid, punt dat 1 seconde achterloopt (3p + 4p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 9: richting van de raaklijn in het zelfsnijpunt (5p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 2: snelheid van twee bewegende punten vergelijken (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 10 (3p): in vraagstelling — snelheidsvector v(t)=(4t−3t², 4−4t) expliciet gegeven, baansnelheid = lengte van v(t).
  • Vraag 11 (4p): in vraagstelling — punt Q “loopt steeds 1 seconde achter op punt P en beweegt in dezelfde richting als P”, kinematische formulering.
  • Komt 2× voor, in vraag 10 letterlijk met snelheidsvector (sterker dan de indirecte link in 2025 tijdvak 1).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t) voor een bewegend punt P.
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) en y’(t) bepalen de richting van de raaklijn aan de baan in het zelfsnijpunt.
  • Komt 2× voor; vraag 9 is een directe toepassing (“richting van de raaklijn = richting van de snelheidsvector”).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — de kromme K wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t) — kinematica-achtige formulering van een parametervoorstelling.
  • Vraag 4, 5: idem, zelfde kromme K.
  • Komt 3× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren/integreren, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; de “bewegingsvergelijking”-frasering is het enige raakvlak).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — “bewegingsvergelijkingen” xP(t), yP(t) beschrijven een bewegend punt (kinematica-frasering).
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — snelheid v(t) van P berekend als lengte van de snelheidsvector: v(t)=√((16t)²+(8t)²); snelheid van Q is constant (√(3²+4²)=5). Frasering: “Bewijs dat op t=5 de snelheid van P inderdaad acht keer zo groot is als de snelheid van Q.”
  • Vraag 3 (4p): impliciet — lijnstuk PQ tussen de twee bewegende punten.
  • Komt 3× voor, dominant thema van opgave “Beweging over twee lijnen” (11 scorepunten), inclusief de volledige vraag 2 over baansnelheid.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): in vraagstelling — “Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen … met t in seconden.”
  • Vraag 10 (6p): idem, zelfde baan.
  • Komt 2× voor, zwak/indirect (de vragen zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren, niet op snelheids- of versnellingsvectoren zelf; de “bewegingsvergelijking”-frasering met t in seconden is het voornaamste raakvlak).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 6 (3p): in vraagstelling — expliciet “bewegingsvergelijkingen” van punt P, kinematica-achtige framing.
  • Vraag 7 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, de “snelheidsvector” v=(x’(t), y’(t)) wordt letterlijk gebruikt en berekend.
  • Vraag 8 (3p): indirect — resultaat van de kinematische afleiding in v7 wordt hier opgelost.
  • Frasering: “de snelheidsvector in punt P”. Komt 3× voor, sterker/directer aanwezig dan in 2025 tijdvak 1 (waar het alleen impliciet via “bewegingsvergelijkingen”-frasering meespeelde) — hier wordt de snelheidsvector zelf expliciet berekend en gebruikt in een bewijs.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 7 (3p): in vraagstelling — bewegingsvergelijkingen xP(t)=2t, yP(t)=2t² en xQ(t), yQ(t) van punten P en Q.
  • Vraag 8 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “De snelheid waarmee P beweegt” is expliciet de afgeleide van de positievector van P; snelheid van Q via xQ’(t), yQ’(t).
  • Vraag 9, 10: idem, lengte PQ en de helling van de grafiek van L (afgeleid van de bewegingsvergelijkingen).
  • Frasering: “De bewegingsvergelijkingen van een punt P worden gegeven door…”. Komt 4× terug, dominant thema van de hele opgave “Gedraaide parabool” (13 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): in vraagstelling — bewegingsvergelijkingen x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55 voor de baan van een basketbal; stelsel oplossen voor v.
  • Vraag 11 (5p): idem, met α=50° en v=8 m/s gegeven; hoek β van de baan bij de basket bepalen via x’(t) en y’(t).
  • Frasering: “Voor de baan van de bal geldt: x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55.” Komt 2× voor, dominant thema van de opgave “Basketbal” (10 scorepunten samen), expliciet met “algebraïsch” als vereiste methode (niet enkel GR).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 5, 6, 7: in vraagstelling — punten “bewegen … met een constante snelheid” over lijnstukken, kinematica-achtige formulering van de Bézierconstructie.
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — expliciete natuurkundige context, lavabom met bewegingsvergelijkingen x(t) = 210cos(α)·t, y(t) = 2000 + 210sin(α)·t − 4,9t², snelheid 210 m/s.
  • Vraag 13 (3p): idem, vervolgvraag op hetzelfde model (afstand tot de vulkaan).
  • Vraag 14 (4p): idem, zelfde model gebruikt voor de gestippelde omhullende kromme.
  • Frasering: “beweegt … met een constante snelheid”, “bewegingsvergelijkingen”. Komt 6× terug (dominant in twee van de zeven opgaven, samen 21 scorepunten), maar zoals ook in 2025: de vragen zelf zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren/algebra, niet op snelheids- of versnellingsvectoren zelf — het raakvlak is vooral de “bewegingsvergelijking”-frasering en het uitgangspunt (constante snelheid, projectielbaan).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten P en Q bewegen volgens bewegingsvergelijkingen xP(t)=2cos(t), yP(t)=2sin(t) resp. xQ(t)=2+cos(t), yQ(t)=sin(t).
  • Vraag 12, 13: idem, dezelfde bewegende punten P, Q en het midden M.
  • Komt 3× voor, de hele opgave “Cirkels en lijnen” is opgezet als bewegingsvergelijkingen van punten op cirkelbanen.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — de kromme wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t), kinematica-achtige formulering.
  • Vraag 17 (6p): idem, zelfde kromme.
  • Komt 2× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn gericht op differentiëren/raaklijn/cirkel, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 10 (4p): in vraagstelling — “De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen: x(t) = t², y(t) = t² − 2t.” Expliciete “bewegingsvergelijkingen”-frasering.
  • Komt 1× voor, uitgangspunt van de opgave “Limiet van een verhouding”.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1-3: in vraagstelling — kromme K wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t).
  • Komt 3× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn gericht op differentiëren/raaklijn/afstand, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak, net als in 2025 tijdvak 1).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “bewegingsvergelijkingen” van P1 en P2 gegeven, snelheid v2(t)=4√(t²+1) expliciet vermeld als natuurkundige grootheid.
  • Vraag 12 (3p), 13 (4p): idem, zelfde twee bewegende punten.
  • Komt 3× voor, dominant thema van opgave “Twee bewegende punten” (12 scorepunten samen) — sterker verankerd dan in voorgaande tijdvakken doordat snelheid v1(t)/v2(t) hier expliciet als grootheid wordt vergeleken (niet alleen frasering).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 13 (5p): in vraagstelling — “bewegingsvergelijkingen” frasering voor de baan van punt P, kinematica-achtige formulering van een parametervoorstelling.
  • Vraag 14 (8p): idem, zelfde beweging van P gebruikt.
  • Komt 2× voor, zwak/indirect (vragen zelf zijn gericht op vectoren/meetkunde, niet op snelheid/versnelling; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak, net als in andere tijdvakken).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling — “de beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen.”
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, snelheidsvector als afgeleide van de positievector: x’(t) = −2sin(2t) − 2cos(2t), y’(t) = 2cos(2t) − cos(t).
  • Komt 2× voor (10 scorepunten), sterker/directer verband dan in 2025 tijdvak 1 (waar de “bewegingsvergelijking”-frasering vooral cosmetisch was) — hier wordt de snelheidsvector zelf gescoord.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. “Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat”, via dx/dt=−2t en dy/dt=2(1+t) op t=1, snelheid = lengte van de snelheidsvector √((−2)²+4²)=2√5. Sterk, direct voorbeeld van baansnelheid via een tijdsafhankelijke vectorvoorstelling.
  • Komt 1× voor, maar volledig kernonderdeel (alle 4 scorepunten).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “voor iedere waarde van t kunnen de snelheidsvector v vanuit punt Pt en de vector OPt worden getekend”; expliciet snelheidsvector-taalgebruik (afgeleide van de positie als vector).
  • Komt 1× voor, sterker/directer dan de indirecte “bewegingsvergelijking”-verwijzing in 2025-I — hier wordt de snelheidsvector zelf expliciet getekend en bewezen.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vectorvoorstelling van een lijn
• Vector

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)