Meetkunde met complexe getallen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 16. “Druk h uit in a en b”, “Druk q uit in a, b en c”, “Bewijs dat driehoek APQ een gelijkbenige rechthoekige driehoek is” (diagnostische toets 10).

Wat moet je kunnen?

• Een punt dat ontstaat door rotatie van een lijnstuk uitdrukken in de complexe getallen van de gegeven punten.
• Midden en parallellogram gebruiken: $m=\frac{1}{2}(b+c)$, en bij parallellogram $ABCD$ is $c=b+d-a$.
• Met die uitdrukkingen bewijzen dat lijnstukken even lang en loodrecht zijn, of dat een figuur een parallellogram is.

De kern

Punten en complexe getallen. Bij $A$ hoort $a$, bij $B$ hoort $b$, enzovoort. Het assenstelsel laat je weg.

• Midden $M$ van $BC$: $m=\frac{1}{2}(b+c)$.
• Vector $\overrightarrow{AB}$ hoort bij $b-a$.
• Parallellogram $ABCD$: $c=b+(d-a)$.

Rotatie. Vermenigvuldigen met $\cos \phi +i\sin \phi$ (modulus 1) is een rotatie om 0 over $\phi$:

Bij de rotatie van het lijnstuk $AB$ om $A$ over een hoek $\phi$ geldt voor het beeld $C$ van $B$ dat $c=a+(\cos \phi +i\sin \phi )(b-a)$.

$\phi$	factor
$90°$	$i$
$-90°$	$-i$
$60°$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$
$45°$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{2}$

Bewijzen. $|q-a|=|p-a|$ betekent $AQ=AP$. Als $q-a=i(p-a)$, dan is $AQ$ het beeld van $AP$ na rotatie over $90°$: $AP=AQ$ en $AP\perp AQ$.

Dit vervangt het draaien van vectoren uit Wiskunde B (${\vec{a}}_R=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{-p}\right)$, zie Vector); met complexe getallen gaat het in één vermenigvuldiging.

Zo wordt het gevraagd

• “Druk h uit in a en b. Druk e uit in b en c. Druk p uit in a, b en c.” (diagnostische toets 10a–f).
• “Bewijs dat driehoek APQ een gelijkbenige rechthoekige driehoek is.” (diagnostische toets 10g).
• “Het complexe getal m kan worden uitgedrukt in a en b volgens m = pa + qb. Bereken de exacte waarden van p en q.” (opgave 39–A41).
• “Bewijs de stelling van Napoleon.” (opgave A43).

Uitgewerkt voorbeeld

Vierkanten op de zijden (vergelijk H16 diagnostische toets 10)

Op de zijden $AB$, $BC$ en $AC$ van driehoek $ABC$ staan naar buiten gerichte vierkanten $ABHI$, $BCDE$ en $ACGF$. $BEPH$ en $CGQD$ zijn parallellogrammen.

1. $H$ ontstaat door rotatie van $A$ om $B$ over $90°$: $h=b+i(a-b)=ia+(1-i)b$.
2. $E$ door rotatie van $C$ om $B$ over $-90°$: $e=b-i(c-b)=(1+i)b-ic$.
3. Parallellogram $BEPH$: $p=b+(h-b)+(e-b)=h+e-b=ia+b-ic$.
4. Op dezelfde manier: $g=c-i(a-c)=-ia+(1+i)c$, $d=c+i(b-c)=ib+(1-i)c$ en $q=g+d-c=-ia+ib+c$.
5. $i(p-a)=i((-1+i)a+b-ic)=(-1-i)a+ib+c$ en $q-a=(-1-i)a+ib+c$.
6. Dus $q-a=i(p-a)$: $AQ$ is $AP$ gedraaid over $90°$. Dus $AP=AQ$ en $\angle A=90°$: driehoek $APQ$ is gelijkbenig rechthoekig.

Controle met een getallenvoorbeeld ($a=0$, $b=3$, $c=1+2i$): $i(p-a)=q-a=1+5i$ ✓

Gelijkzijdige driehoek op een parallellogram (vergelijk H16 Voorbeeld blz. 176)

Parallellogram $ABCD$ met op $CD$ de gelijkzijdige driehoek $CDE$; $M$ is het midden van $CE$.

1. $c=b+d-a$.
2. $E$ is $C$ gedraaid om $D$ over $60°$: $e=d+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3})(c-d)=d+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3})(b-a)$.
3. $m=\frac{1}{2}(c+e)=(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}i\sqrt{3})b+d-(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}i\sqrt{3})a$.

Valkuilen

• De richting van de rotatie fout: tegen de klok in is positief. Bepaal uit de figuur of het $+90°$ ($i$) of $-90°$ ($-i$) is.
• Om het verkeerde punt draaien: $c=a+i(b-a)$ draait om $A$, niet om $B$.
• Bij een parallellogram de volgorde van de hoekpunten niet goed lezen.
• Na het uitdrukken geen conclusie geven. Een bewijs eindigt met wat er gevraagd was.

Test jezelf

$C$ ontstaat door $B$ om $A$ over $-90°$ te draaien. Geef $c$.

$c=a-i(b-a)=(1+i)a-ib$.

Wat volgt uit $q-a=-i(p-a)$?

$AQ$ is $AP$ gedraaid over $-90°$: $AP=AQ$ en $AP\perp AQ$.

Van parallellogram $ABCD$ zijn $a$, $b$ en $d$ bekend. Geef $c$ en het snijpunt $S$ van de diagonalen.

$c=b+d-a$ en $s=\frac{1}{2}(a+c)=\frac{1}{2}(b+d)$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H16 opgave O34 · uitwerking: ruit en vierkant, eerste stappen
• H16 opgave R35–36 · uitwerking: roteren over verschillende hoeken
• H16 opgave 37–40 · uitwerking: punten uitdrukken, $m=pa+qb$
• H16 opgave A41–A43 · uitwerking: bewijzen, stelling van Napoleon
• H16 diagnostische toets 10 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §16.3 Theorie A: Complexe getallen bij meetkundige figuren (blz. 175–176)
• §16.3 Voorbeeld: parallellogram met gelijkzijdige driehoek (blz. 176)
• Terugblik §16.3 (blz. 179)
• Diagnostische toets 10 (blz. 201)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Lineaire complexe functies (draaivermenigvuldiging)
• Vector
• Bewijzen in de vlakke meetkunde

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)