Vergelijking van een hyperbool

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Gevraagd op dezelfde manier als de ellips, met als extra de asymptoten en het verschil tussen "$=1$" en "$=-1$".

Wat moet je kunnen?

• Een vergelijking opstellen uit toppen en brandpunten, uit toppen en een punt, uit asymptoten en een punt, of uit een richtcirkel.
• Van een (verschoven) hyperbool de toppen, brandpunten en asymptoten berekenen.
• Het verschil zien tussen $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ en $=-1$.

De kern

Voor elk punt $P$ van de hyperbool geldt $|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=2a$, waarbij $2a$ de afstand tussen de toppen is.

	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$
toppen	$(\pm a,0)$	$(0,\pm b)$
brandpunten	$(\pm c,0)$	$(0,\pm c)$
$c$	$c^2=a^2+b^2$	$c^2=a^2+b^2$
asymptoten	$y=\pm \frac{b}{a}x$	$y=\pm \frac{b}{a}x$

Waarom deze asymptoten? Schrijf $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=1$, dus $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}$. Voor $x\to \infty$ en $y\to \infty$ gaat de rechterkant naar 0, dus $y\to \frac{b}{a}x$. Meetkundig is $b$ de verticale afstand van een top tot een asymptoot.

• Een orthogonale hyperbool heeft loodrechte asymptoten: $a=b$.
• De richtcirkel heeft een brandpunt als middelpunt en straal $2a$ (bij toppen op de $x$-as).
• Bij een verschoven hyperbool gaan de asymptoten door het middelpunt: $y-n=\pm \frac{b}{a}(x-m)$.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel een vergelijking op van de hyperbool met toppen (0, −3) en (0, 3) en brandpunten (0, −4) en (0, 4).” (opgave 23, diagnostische toets 6).
• “Bereken van de volgende hyperbolen de coördinaten van de toppen en de brandpunten.” (opgave 30, diagnostische toets 7).
• “Stel vergelijkingen op van de asymptoten van de hyperbool.” (opgave 34, diagnostische toets 8).
• Omgekeerd: asymptoten en een punt gegeven, bereken $a$ en $b$ (opgave 35, A36).

Uitgewerkt voorbeeld

Toppen, brandpunten en asymptoten (vergelijk H13 opgave 30b)

Gegeven is de hyperbool $11x^2-5y^2+44x-10y-16=0$.

1. Afsplitsen: $11((x+2{)}^2-4)-5((y+1{)}^2-1)-16=0$
2. $11(x+2{)}^2-5(y+1{)}^2=55$: de translatie $(-2,-1)$ van $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{11}=1$
3. $a^2=5$, $b^2=11$, $c^2=5+11=16$, dus $c=4$
4. Onverschoven: toppen $(\pm \sqrt{5},0)$, brandpunten $(\pm 4,0)$
5. Verschoven: toppen $\left(-2-\sqrt{5},-1\right)$ en $\left(-2+\sqrt{5},-1\right)$, brandpunten $(-6,-1)$ en $(2,-1)$
6. Asymptoten: $y+1=\pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}(x+2)$, ofwel $y+1=\pm \frac{1}{5}\sqrt{55}(x+2)$

Controle: de brandpunten liggen verder van het middelpunt $(-2,-1)$ dan de toppen, want $4>\sqrt{5}$ ✓

Uit asymptoten en een punt (vergelijk H13 opgave 35)

Van $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ zijn de asymptoten $y=\pm \frac{1}{2}x$ en $(10,4)$ ligt erop.

1. $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$, dus $a=2b$
2. Invullen: $\frac{100}{4b^2}-\frac{16}{b^2}=1\Rightarrow \frac{25-16}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9$
3. $b=3$ en $a=6$
4. $c^2=36+9=45$: toppen $(\pm 6,0)$, brandpunten $\left(\pm 3\sqrt{5},0\right)$

Controle: $\frac{100}{36}-\frac{16}{9}=\frac{100-64}{36}=1$ ✓

Valkuilen

• $c^2=a^2-b^2$ gebruiken zoals bij de ellips. Bij de hyperbool is het plus.
• Bij "$=-1$" de toppen op de $x$-as zetten. Die liggen dan op de $y$-as, in $(0,\pm b)$.
• Bij "$=-1$" de asymptoten omdraaien naar $y=\pm \frac{a}{b}x$. Het blijft $y=\pm \frac{b}{a}x$.
• De asymptoten van een verschoven hyperbool door $O$ laten gaan in plaats van door het middelpunt.
• Niet eerst delen tot $\pm 1$: $3x^2-5y^2=30$ wordt $\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{6}=1$.

Test jezelf

Geef toppen, brandpunten en asymptoten van $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Toppen $(\pm 3,0)$, $c^2=9+16=25$, brandpunten $(\pm 5,0)$, asymptoten $y=\pm \frac{4}{3}x$.

En van $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1$?

Toppen $(0,\pm 4)$, brandpunten $(0,\pm 5)$, asymptoten ook nu $y=\pm \frac{4}{3}x$.

Geef de asymptoten en brandpunten van $4x^2-y^2=16$.

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$: $a=2$, $b=4$, asymptoten $y=\pm 2x$. $c^2=20$, brandpunten $\left(\pm 2\sqrt{5},0\right)$.

Stel een vergelijking op van de hyperbool met toppen $(\pm 1,0)$ en brandpunten $(\pm 2,0)$.

$a=1$, $c=2$, $b^2=c^2-a^2=3$: $x^2-\frac{y^2}{3}=1$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 23 · uitwerking: vergelijking uit toppen, brandpunten of een punt
• H13 opgave 25 · uitwerking: met een richtcirkel
• H13 opgave A28 · uitwerking: $p{x}^2-q{y}^2=80$ door twee punten
• H13 opgave A36 · uitwerking: asymptoten en orthogonale hyperbool
• H13 diagnostische toets 6–8 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: hyperbool met richtcirkel (blz. 11)
• §13.2 opgave 21: afleiding (blz. 23)
• §13.2 Theorie C: De vergelijking van een hyperbool (blz. 24)
• §13.2 Theorie D: Toppen en brandpunten van een hyperbool (blz. 26)
• §13.2 Theorie E: Asymptoten van een hyperbool (blz. 27)
• Terugblik §13.2 (blz. 31)
• Diagnostische toets 6–8 (blz. 46)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Hyperbool als meetkundige plaats
• Vergelijking van een ellips (dezelfde aanpak, andere formule voor $c$)
• Asymptoten en limietgedrag

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kegelsneden onderzoeken
• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede