Parabool als meetkundige plaats

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Tekenen met passer en geodriehoek, plus korte toelichtingen. Vormt de basis voor Raaklijneigenschap parabool.

Wat moet je kunnen?

• De definitie geven: $d(P,F)=d(P,l)$ met $F$ niet op $l$.
• Met het werkschema punten van de parabool construeren.
• Toelichten waarom het geconstrueerde punt op de parabool ligt.

De kern

Definitie. Een parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $l$ ($F$ niet op $l$) is de verzameling van alle punten die gelijke afstanden hebben tot $F$ en $l$.

Werkschema: punt $P$ van de parabool

1. Teken een punt $V$ op $l$.
2. Teken door $V$ de loodlijn $k$ op $l$.
3. Teken de middelloodlijn $m$ van $FV$.
4. Het snijpunt van $k$ en $m$ is $P$.

Waarom klopt dit? $P$ ligt op $m$, dus $d(P,F)=d(P,V)$. $P$ ligt op $k\perp l$, dus $d(P,V)=d(P,l)$. Samen: $d(P,F)=d(P,l)$.

• De symmetrieas gaat door $F$ en staat loodrecht op $l$.
• De top ligt midden tussen $F$ en $l$ op de symmetrieas.
• Bonus: $m$ is ook de raaklijn in $P$ (zie Raaklijneigenschap parabool).

Zo wordt het gevraagd

• “Teken op deze manier enkele punten P. Toon aan dat voor de getekende punten P inderdaad geldt d(P, F) = d(P, l).” (opgave 19).
• “Teken de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt d(P, rechthoek ABCD) = d(P, E).” (opgave 20): paraboolstukken.
• Vouwopgave: “De vouwlijnen PQ zijn allemaal raaklijn van één parabool” (gemengde opgave 3).

Uitgewerkt voorbeeld

Toelichten (vergelijk H9 opgave 19b)

Toon aan dat voor het geconstrueerde punt $P$ geldt $d(P,F)=d(P,l)$.

1. $P$ ligt op de middelloodlijn $m$ van $FV$, dus $PF=PV$.
2. $P$ ligt op de loodlijn $k$ door $V$ op $l$, dus $PV$ is de afstand van $P$ tot $l$: $PV=d(P,l)$.
3. Dus $d(P,F)=PF=PV=d(P,l)$. ✓

Valkuilen

• $PV$ als afstand tot $l$ gebruiken terwijl $PV$ niet loodrecht op $l$ staat. Daarom moet $k\perp l$.
• De middelloodlijn van $PF$ tekenen in plaats van die van $FV$.
• Vergeten dat bij elk punt $V$ op $l$ precies één punt $P$ hoort.

Test jezelf

Waar ligt de top van een parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $l$?

Op de loodlijn uit $F$ op $l$, precies midden tussen $F$ en $l$.

Waarom mag $F$ niet op $l$ liggen?

Dan zijn de punten met $d(P,F)=d(P,l)$ precies de punten van de loodlijn op $l$ door $F$: een lijn, geen parabool.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 19 · uitwerking: werkschema en toelichting
• H9 opgave 20 · uitwerking: rechthoek en punt
• Gemengde opgave 3 · uitwerking: vouwlijnen

Bronnen

• §9.1 Theorie A: De optie Meetkundige plaats (blz. 10)
• §9.2 Theorie B: De parabool als meetkundige plaats (blz. 18)
• Terugblik: Constructie van parabool, ellips en hyperbool (blz. 27)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Meetkundige plaatsen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijneigenschap parabool
• Vergelijking van een parabool