Raaklijneigenschap parabool

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Bewijzen met congruente driehoeken en constructies zoals “teken het brandpunt en de richtlijn”. Vaak een 🔴-achtige bewijsvraag in de toets.

Wat moet je kunnen?

• De raaklijneigenschap formuleren en bewijzen (opgave 37).
• Met de eigenschap brandpunt, richtlijn of top construeren bij een gegeven raaklijn.
• De eigenschap gebruiken in bewijzen: “Bewijs dat ∠SFA = 90°”, “Bewijs dat ∠PSQ = 90°”.

De kern

Raaklijneigenschap parabool. De raaklijn in een punt $P$ van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn $PF$ en de lijn door $P$ loodrecht op de richtlijn.

Bewijs (opgave 37d). $V$ is de projectie van $P$ op $l$, $m$ de middelloodlijn van $FV$ met $R$ het midden van $FV$. $PF=PV$ (parabool), $FR=VR$ (middelloodlijn), $PR=PR$: $△PFR\cong △PVR$ (ZZZ), dus $\angle FPR=\angle VPR$.

Waarom is $m$ de raaklijn? Elk ander punt $Q$ van $m$ heeft $d(Q,l)<QV=QF$, dus ligt buiten de parabool. $m$ heeft alleen $P$ gemeen met de parabool.

Gevolgen

• Spiegeleigenschap: stralen evenwijdig aan de as worden naar $F$ gespiegeld (schotelantenne, koplamp).
• Raaklijnen in $A$ en $B$ die elkaar op de richtlijn snijden, staan loodrecht op elkaar (A41).
• De pool $P$ van $AB$ is het middelpunt van een cirkel door $F$, $V_1$ en $V_2$ (A44).

Constructie van $F$ bij gegeven raaklijn $r$ in $A$ en symmetrieas $m$: teken door $A$ de lijn evenwijdig aan $m$, spiegel die in $r$; het snijpunt met $m$ is $F$.

Zo wordt het gevraagd

• “De lijn r is de raaklijn aan p in A. De lijn m is de symmetrieas van p. Teken het brandpunt en de richtlijn van p.” (opgave 38, diagnostische toets 9).
• “De raaklijn aan de parabool in het punt A snijdt de richtlijn in het punt S. Bewijs dat ∠SFA = 90°.” (diagnostische toets 10).
• “Bewijs dat vierhoek BVPF een ruit is.” (A42).

Uitgewerkt voorbeeld

Bewijs met congruentie (vergelijk H9 diagnostische toets 10)

De raaklijn in $A$ snijdt de richtlijn $l$ in $S$. Bewijs dat $\angle SFA=90°$.

1. Teken $A{A}^{\prime }\perp l$ met $A^{\prime }$ op $l$, en teken $AF$ en $FS$.
2. $A{A}^{\prime }=AF$ (definitie parabool)
3. $AS=AS$ (gemeenschappelijk)
4. $\angle A^{\prime }AS=\angle FAS$ (raaklijneigenschap)
5. Dus $△A{A}^{\prime }S\cong △AFS$ (ZHZ), en daaruit $\angle SFA=\angle S{A}^{\prime }A=90°$.

Valkuilen

• Bij congruentie de hoek niet tussen de twee zijden kiezen (ZHZ vraagt de ingesloten hoek).
• De raaklijneigenschap gebruiken zonder hem te noemen. Schrijf de reden erbij, zoals in de uitwerking.
• De raaklijn verwarren met de middelloodlijn van $PF$. Het is de middelloodlijn van $FV$.

Test jezelf

Een lichtstraal loopt evenwijdig aan de as van een parabolische spiegel. Waar gaat hij na spiegeling heen?

Door het brandpunt $F$ (spiegeleigenschap, gevolg van de raaklijneigenschap).

Raaklijnen in $P$ en $Q$ snijden elkaar in $S$ op de richtlijn. Hoe groot is $\angle PSQ$?

$90°$ (A41).

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 37 · uitwerking: het bewijs van de eigenschap
• H9 opgave 39 · uitwerking: richtlijn en top construeren
• H9 opgave A41 · uitwerking: ∠PSQ = 90°
• H9 diagnostische toets 9 · uitwerking: brandpunt en richtlijn
• Gemengde opgave 9 · uitwerking: ST = SR

Bronnen

• §9.1 opgave 4–6 met GeoGebra (blz. 11)
• §9.3 Theorie A: Raaklijneigenschap parabool (blz. 28–29)
• Informatief: Paraboloïden (blz. 30)
• Terugblik (blz. 35)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Parabool als meetkundige plaats
• Gelijkvormige en congruente driehoeken

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijneigenschappen ellips en hyperbool
• Pool en poollijn