Vergelijking van een parabool

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Basis van H13: je hebt het nodig bij raaklijnen, poollijnen en meetkundige plaatsen. In de toets meestal als eerste deelvraag (“bereken top en brandpunt”) van een grotere opgave.

Wat moet je kunnen?

• Een vergelijking opstellen bij een gegeven brandpunt en richtlijn, of top en brandpunt.
• Uit een vergelijking als $y^2+4y=3-2x$ met kwadraatafsplitsen de top $T$, het brandpunt $F$, de as $k$ en de richtlijn $l$ berekenen.
• Zien of een parabool liggend of staand is en naar welke kant hij opent.
• Dit ook doen als er een parameter in de vergelijking staat.

De kern

Een parabool is de verzameling punten $P$ met $d(P,F)=d(P,l)$. De parameter $p$ is de afstand van het brandpunt tot de richtlijn: $p=d(F,l)$. De top ligt daar precies midden tussen.

Vergelijking	Soort	Brandpunt	Richtlijn
$y^2=2px$	liggend, opening rechts	$F(\frac{1}{2}p,0)$	$x=-\frac{1}{2}p$
$y^2=-2px$	liggend, opening links	$F(-\frac{1}{2}p,0)$	$x=\frac{1}{2}p$
$x^2=2py$	staand, opening boven	$F(0,\frac{1}{2}p)$	$y=-\frac{1}{2}p$
$x^2=-2py$	staand, opening beneden	$F(0,-\frac{1}{2}p)$	$y=\frac{1}{2}p$

Verschoven parabool. $(y-b{)}^2=2p(x-a)$ ontstaat uit $y^2=2px$ door de translatie $(a,b)$:

$\text{top }(a,b)F(\frac{1}{2}p+a,b)l:x=-\frac{1}{2}p+a\text{as }k:y=b$

Werkwijze bij een gegeven vergelijking

1. Zet de variabele die in het kwadraat staat links, de rest rechts.
2. Splits het kwadraat af.
3. Haal rechts de factor buiten haakjes: $(y+5{)}^2=4x+24=4(x+6)$.
4. Lees de top af, bereken $p$ uit $2p$, en tel $\frac{1}{2}p$ op bij de top (naar de kant van de opening).

Zo wordt het gevraagd

• “Stel een vergelijking op van de parabool met brandpunt F(3, 1) en richtlijn l: x = 1.” Bepaal eerst de top (midden tussen $F$ en $l$) en $p=d(F,l)$.
• “Bereken van de volgende parabolen de coördinaten van de top T en het brandpunt F, en stel een vergelijking op van de as k en de richtlijn l.” Dit staat in opgave 9, in de diagnostische toets en in gemengde opgave 4a.
• “Druk de coördinaten van de top en het brandpunt van de parabool uit in a.” (A10, gemengde opgave 3a). Dezelfde werkwijze, maar met een parameter.

Uitgewerkt voorbeeld

Top, brandpunt, as en richtlijn (vergelijk H13 opgave 9b)

Gegeven is de parabool $x^2-6x=2y-3$.

1. Kwadraat afsplitsen: $(x-3{)}^2-9=2y-3$, dus $(x-3{)}^2=2y+6$
2. Factor buiten haakjes: $(x-3{)}^2=2(y+3)$. Staande parabool, opening naar boven.
3. Top $T(3,-3)$ en $2p=2$, dus $p=1$.
4. $F(3,-3+\frac{1}{2})=F(3,-2\frac{1}{2})$, as $k:x=3$, richtlijn $l:y=-3-\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}$.

Controle: $d(F,l)=-2\frac{1}{2}--3\frac{1}{2}=1=p$ ✓

Vergelijking uit brandpunt en richtlijn (vergelijk H13 diagnostische toets 1c)

Stel een vergelijking op van de parabool met brandpunt $F(4,2)$ en richtlijn $l:x=-6$.

1. De richtlijn is verticaal, dus een liggende parabool. $F$ ligt rechts van $l$, dus de opening is naar rechts.
2. $p=d(F,l)=4--6=10$.
3. De top ligt midden tussen $l$ en $F$: $T(-1,2)$.
4. $(y-2{)}^2=2\cdot 10(x+1)$, dus $(y-2{)}^2=20(x+1)$.

Controle: $F=(\frac{1}{2}\cdot 10-1,2)=(4,2)$ ✓

Valkuilen

• $p$ is de afstand van $F$ tot de richtlijn, niet tot de top. De afstand van top tot brandpunt is $\frac{1}{2}p$.
• Bij $y^2=4x$ is $2p=4$, dus $p=2$ en $F(1,0)$, niet $F(4,0)$ of $F(2,0)$.
• De factor rechts niet buiten haakjes halen: van $(y+5{)}^2=4x+24$ is de top $(-6,-5)$, niet $(-24,-5)$.
• Bij een minteken ($(y+2{)}^2=-2(x-3\frac{1}{2})$) opent de parabool naar links: het brandpunt ligt links van de top.
• Bij $y=-\frac{1}{4}{x}^2+3x-6$ eerst vermenigvuldigen zodat $x^2$ alleen staat, pas dan afsplitsen.

Test jezelf

Geef het brandpunt en de richtlijn van $y^2=12x$.

$2p=12$, dus $p=6$: $F(3,0)$ en $l:x=-3$.

Stel een vergelijking op van de parabool met top $(2,1)$ en brandpunt $(2,4)$.

Staand, opening naar boven, $\frac{1}{2}p=3$, dus $p=6$: $(x-2{)}^2=12(y-1)$. De richtlijn is $y=-2$.

Bereken top, brandpunt en richtlijn van $x^2+4x=-8y+4$.

$(x+2{)}^2-4=-8y+4$, dus $(x+2{)}^2=-8(y-1)$. Top $(-2,1)$, $p=4$, opening naar beneden: $F(-2,-1)$ en $l:y=3$.

Waarom heeft de grafiek van $y=x^2$ brandpunt $(0,\frac{1}{4})$?

$x^2=y$ is $x^2=2py$ met $2p=1$, dus $p=\frac{1}{2}$ en $F(0,\frac{1}{2}p)=(0,\frac{1}{4})$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 8 · uitwerking: vergelijking uit brandpunt en richtlijn
• H13 opgave 9c en 9d · uitwerking: top en brandpunt met kwadraatafsplitsen
• H13 opgave A10 · uitwerking: top en brandpunt met parameter $a$
• H13 diagnostische toets 2 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 4a · uitwerking: begin van een grotere opgave

Bronnen

• Voorkennis Theorie A: Cirkel en parabool (blz. 8): definitie met brandpunt en richtlijn
• §13.1 opgave 6 en Theorie B: De vergelijking van een parabool (blz. 17)
• §13.1 Voorbeeld (blz. 18): $y^2+4y=3-2x$
• Terugblik §13.1 (blz. 19)
• Diagnostische toets 1–2 (blz. 46)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Parabool als meetkundige plaats
• Vergelijking van een cirkel (kwadraatafsplitsen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kegelsneden onderzoeken
• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede