Gelijkvormige en congruente driehoeken

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 7. Het gereedschap onder bijna elk meetkundig bewijs in H7, H9 en H13. Typisch: “Bewijs dat BF = ¾BD” of “Bewijs dat AG = BD”.

Wat moet je kunnen?

• Het juiste gelijkvormigheids- of congruentiekenmerk kiezen en noteren.
• Een bewijs opschrijven in de accolade-notatie van het boek: drie gegevens met reden, daarachter het kenmerk.
• Uit gelijkvormigheid een verhouding afleiden en daarmee rekenen ($A{C}^2=BC\cdot CD$).

De kern

Gelijkvormig ($\sim$), kleine letters	Congruent ($\cong$), hoofdletters
hh: twee hoeken	HZH: zijde en twee aanliggende hoeken
zhz: hoek en verhouding van de omliggende zijden	ZHH: zijde, aanliggende hoek en tegenoverliggende hoek
zzz: verhouding van de zijden	ZHZ: twee zijden en de ingesloten hoek
zzr: rechte hoek en verhouding van twee niet-omliggende zijden	ZZZ: alle zijden
	ZZR: twee zijden en de rechte hoek tegenover een van die zijden

Redenen die je vaak noteert: F-hoeken, Z-hoeken, overstaande hoeken, gestrekte hoek, hoekensom driehoek ($180°$), hoekensom vierhoek ($360°$), gegeven, gemeenschappelijk ($AB=AB$).

Notatie in het boek $\begin{array}{rl}& \angle C=\angle C\\ & \angle CAD=\angle ABC\text{ (gegeven)}\end{array}\}△ABC\sim △DAC\text{ (hh)}$

Zet de letters in de overeenkomstige volgorde: dan lees je de verhoudingen direct af, $\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$.

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat AC² = BC · CD.” (diagnostische toets 4): gelijkvormigheid, dan kruislings vermenigvuldigen.
• “Bewijs dat AG = BD.” (diagnostische toets 3, vierkanten op de zijden): congruentie via ZHZ.
• “Bewijs dat DE = DF.” (opgave 8), “Bewijs dat driehoek DEF gelijkzijdig is.” (A9).

Uitgewerkt voorbeeld

Gelijkvormigheid (vergelijk H7 diagnostische toets 4)

In driehoek $ABC$ ligt $D$ op $BC$ met $\angle CAD=\angle ABC$. Bewijs dat $A{C}^2=BC\cdot CD$.

1. $\angle C=\angle C$ (gemeenschappelijk)
2. $\angle CAD=\angle ABC$ (gegeven)
3. Dus $△ABC\sim △DAC$ (hh). Let op de volgorde: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$.
4. Daaruit $\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$, dus $A{C}^2=BC\cdot CD$. ✓ (zo ook in de uitwerking)

Congruentie (vergelijk H7 diagnostische toets 3)

Op $AC$ en $BC$ van driehoek $ABC$ staan de vierkanten $ACDE$ en $BFGC$. Bewijs dat $AG=BD$.

1. $\angle ACG=90°+\angle ACB$ en $\angle DCB=90°+\angle ACB$, dus $\angle ACG=\angle DCB$
2. $AC=CD$ (vierkant) en $CG=BC$ (vierkant)
3. Dus $△ACG\cong △DCB$ (ZHZ), en daaruit $AG=BD$. ✓

Valkuilen

• ZZH gebruiken: twee zijden en een niet-ingesloten hoek is geen kenmerk (behalve ZZR, met een rechte hoek).
• Hoofd- en kleine letters door elkaar halen: hh is gelijkvormig, HZH is congruent.
• De redenen weglaten. In de uitwerkingen staat achter elke gelijkheid waarom ze geldt.
• De driehoeken in verkeerde volgorde noteren en dan de verkeerde verhouding opschrijven.

Test jezelf

Twee driehoeken hebben twee paar gelijke hoeken. Zijn ze congruent?

Niet per se; ze zijn gelijkvormig (hh). Voor congruentie heb je ook een gelijke zijde nodig (HZH of ZHH).

Welk kenmerk gebruik je als $AC=BC$, $CD=CD$ en $\angle ADC=\angle BDC=90°$?

ZZR (twee zijden en de rechte hoek tegenover een van die zijden). Zo bewijst het boek dat de basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk zijn.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H7 opgave A9 · uitwerking: gelijkzijdige driehoek $DEF$
• H7 opgave A10 · uitwerking: $AP=BQ$ met gelijkzijdige driehoeken
• H7 opgave D12 · uitwerking: met een hulplijn
• H7 diagnostische toets 1–2 · uitwerking: verhoudingen met zhz en hh
• Gemengde opgave 22 · uitwerking: hoogtelijnen, $AF\cdot DF=BF\cdot EF$

Bronnen

• Voorkennis Theorie A: Definities en stellingen (blz. 98): F-/Z-hoeken, hoekensommen
• §7.1 Theorie A: Gelijkvormige en congruente driehoeken (blz. 101–103)
• §7.1 Voorbeeld: basishoeken gelijkbenige driehoek (blz. 103)
• Terugblik §7.1 (blz. 106)
• Diagnostische toets 1–4 (blz. 134)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Definities, vermoedens en stellingen
• Bewijzen in de vlakke meetkunde

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Thales en koordenvierhoeken
• Meetkundige plaatsen
• Raaklijneigenschap parabool