Pool en poollijn

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Dé standaardmethode voor “stel vergelijkingen op van de lijnen door P die de kegelsnede raken”, en de bouwsteen voor Variabele punten en kegelsneden. Komt terug in bijna alle gemengde opgaven van H13.

Wat moet je kunnen?

• De poollijn van een punt $P$ opstellen met halfsubstitutie.
• Met de poollijn de raaklijnen vanuit $P$ aan een kegelsnede opstellen.
• Omgekeerd: bij een gegeven lijn de pool berekenen.
• Dit ook doen als er een parameter in de kegelsnede staat.

De kern

Trek vanuit $P$ buiten de kegelsnede de twee raaklijnen, met raakpunten $A$ en $B$. De lijn $AB$ is de poollijn van $P$, en $P$ is de pool van $AB$.

Vergelijking. Bij $a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+e=0$ is de poollijn van $P(x_P,y_P)$:

$a{x}_{P}x+b{y}_{P}y+\frac{1}{2}c{x}_P+\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}d{y}_P+\frac{1}{2}dy+e=0$

Dit is dezelfde formule als die voor de raaklijn (halfsubstitutie), maar nu met een punt dat niet op de kegelsnede ligt. Ligt $P$ wel op de kegelsnede, dan is de poollijn de raaklijn in $P$.

Kegelsnede	Poollijn van $P(x_P,y_P)$
$x^2+y^2=r^2$	$x_{P}x+y_{P}y=r^2$
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x_{P}x}{a^2}+\frac{y_{P}y}{b^2}=1$
$y^2=2px$	$y_{P}y=p{x}_P+px$

Stappenplan raaklijnen door $P$

1. Stel de poollijn van $P$ op.
2. Snijd de poollijn met de kegelsnede. Dat geeft de raakpunten $A$ en $B$.
3. Stel met halfsubstitutie de raaklijnen in $A$ en $B$ op (of: lijn door $P$ en $A$).

Pool bij een gegeven lijn. Schrijf de poollijn van $P(x_P,y_P)$ algemeen op en stel de coëfficiënten evenredig met die van de gegeven lijn.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt C(8, −1) die de ellips x² + 8y² = 24 raken.” (opgave 46, diagnostische toets 10b en 12).
• “De lijn k: y = −⅔x + 1 is de poollijn van het punt P ten opzichte van de ellips 4x² + 9y² = 36. Bereken de coördinaten van P.” (opgave 48–49, diagnostische toets 13).
• Met een parameter: “De lijn k: x + y = 10 raakt de hyperbool x² − a²y² = −80. Bereken a².” (A50–D52).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijnen vanuit een punt (vergelijk H13 opgave 46c)

Stel vergelijkingen op van de lijnen door $C(8,-1)$ die de ellips $x^2+8y^2=24$ raken.

1. Poollijn van $C$: $8x+8\cdot -1\cdot y=24$, dus $8x-8y=24$ ofwel $x=y+3$
2. Snijden: $(y+3{)}^2+8y^2=24\Rightarrow 9y^2+6y-15=0\Rightarrow 3y^2+2y-5=0$
3. $D=4+60=64$, dus $y=1$ of $y=-1\frac{2}{3}$. Raakpunten $(4,1)$ en $(1\frac{1}{3},-1\frac{2}{3})$
4. Raaklijn in $(4,1)$: $4x+8y=24$, ofwel $x+2y=6$
5. Raaklijn in $(1\frac{1}{3},-1\frac{2}{3})$: $1\frac{1}{3}x-13\frac{1}{3}y=24$, ofwel $x-10y=18$

Controle: $C$ ligt op beide lijnen: $8+2\cdot -1=6$ ✓ en $8-10\cdot -1=18$ ✓

De pool bij een gegeven lijn (vergelijk H13 diagnostische toets 13)

De lijn $k:y=-\frac{2}{3}x+1$ is de poollijn van $P$ ten opzichte van $4x^2+9y^2=36$. Bereken $P$.

1. Poollijn van $P$: $4x_{P}x+9y_{P}y=36$
2. Schrijf $k$ met dezelfde rechterkant: $2x+3y=3$, dus $24x+36y=36$
3. Coëfficiënten gelijkstellen: $4x_P=24$ en $9y_P=36$
4. $P(6,4)$

Controle: $4\cdot 36+9\cdot 16=288>36$, dus $P$ ligt buiten de ellips, zoals het hoort ✓

Valkuilen

• De poollijn opschrijven als raaklijn in $P$ en daar klaar mee zijn. Je hebt nog de raakpunten nodig.
• Het punt $P$ zelf als raakpunt gebruiken.
• Bij het gelijkstellen de rechterkanten niet eerst gelijk maken ($2x+3y=3$ eerst ×12).
• Halfsubstitutie van de lineaire termen vergeten: bij $y^2=4x$ is de poollijn $y_{P}y=2x_P+2x$, niet $y_{P}y=4x$.
• Lees het punt van het plaatje, niet uit OCR of haast: een verkeerd teken bij $P$ maakt de hele opgave fout. Controleer aan het eind of $P$ op de raaklijnen ligt.

Test jezelf

Geef de raaklijnen door $P(7,1)$ aan de cirkel $x^2+y^2=25$.

Poollijn $7x+y=25$. Snijden met de cirkel: raakpunten $(3,4)$ en $(4,-3)$. Raaklijnen $3x+4y=25$ en $4x-3y=25$.

Wat is de poollijn van $(0,-4)$ ten opzichte van $5x^2-4y^2=16$?

$5\cdot 0\cdot x-4\cdot -4\cdot y=16$, dus $16y=16$ ofwel $y=1$.

Van welk punt is $x+2y=4$ de poollijn ten opzichte van $x^2+4y^2=8$? Wat betekent de uitkomst?

$x_{P}x+4y_{P}y=8$ en $2x+4y=8$ geven $P(2,1)$. Dat punt ligt op de ellips, dus de lijn is de raaklijn in $P$.

De lijn $y=-x+3$ is de poollijn van $P$ ten opzichte van $y^2=4x$. Bereken $P$.

Poollijn $y_{P}y=2x_P+2x$. De lijn is $-2y=-6+2x$. Dus $y_P=-2$ en $2x_P=-6$: $P(-3,-2)$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 46a, b en d · uitwerking: raaklijnen door een punt aan cirkel, parabool en hyperbool
• H13 opgave 49 · uitwerking: pool bij een gegeven lijn
• H13 opgave D52 · uitwerking: poollijn met parameters $p$ en $q$
• H13 diagnostische toets 12 · uitwerking: toetsniveau, met $P(4,-2)$
• Gemengde opgave 6 · uitwerking: poollijn en translatie

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: pool en poollijn bij een ellips (blz. 11)
• §13.3 Theorie B: De vergelijking van de poollijn (blz. 34–35)
• §13.3 Voorbeeld: raaklijnen door een punt (blz. 35)
• Terugblik §13.3: Poollijnen (blz. 38)
• Informatief: Poollijn bij P binnen of op een kegelsnede (blz. 41)
• Diagnostische toets 10b, 12, 13 (blz. 47)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede
• Raaklijn aan een cirkel
• Snijpunten van lijnen en cirkels

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Variabele punten en kegelsneden