Inproduct

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 7 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als kernstap in het correctievoorschrift: een hoek berekenen of loodrechte stand aantonen (4–7p).

Wat moet je kunnen?

• Het inproduct van twee vectoren uitrekenen met coördinaten.
• Met het inproduct loodrechte stand aantonen of als voorwaarde opschrijven.
• De hoek tussen twee vectoren, lijnen of raaklijnen berekenen.

De kern

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta$

Toepassing	Formule
loodrecht	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ (beide $\ne \vec{0}$)
hoek tussen vectoren	$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$
hoek tussen lijnen	neem de richtingsvectoren; krijg je een stompe hoek, dan is de hoek tussen de lijnen $180°-\theta$
lengte	$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

• Bij een raaklijn aan een kromme met parametervoorstelling is de richtingsvector $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ (zie Parametervoorstelling).
• Zie ook Vector en Vectorvoorstelling van een lijn.

Zo wordt het gevraagd

• Hoek tussen twee raaklijnen in een zelfsnijpunt via $\cos \theta =\frac{{\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2}{|{\vec{v}}_1||{\vec{v}}_2|}$ (2026-2 vraag 9).
• Een hoek van 45° tussen $OP$ en $OQ$ vertalen naar een vergelijking (2024-2 vraag 17).
• Loodrecht: $\overrightarrow{OP}\cdot \vec{v}=0$ uitschrijven met sinussen en cosinussen (2024-2 vraag 7).
• Hoek tussen raaklijn en $x$-as met richtingsvectoren $(4\sqrt{3},4)$ en $(1,0)$ (2024-1 vraag 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Hoek tussen twee lijnen (examenstijl, vergelijk 2023-2 vraag 6)

Lijn $AB$ heeft richtingsvector $(1,1)$ en lijn $B{B}^{\prime }$ heeft richtingsvector $(3,-1)$. Bereken de hoek tussen de lijnen.

1. Inproduct: $(1,1)\cdot (3,-1)=3-1=2$
2. Lengtes: $\sqrt{2}$ en $\sqrt{10}$
3. $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{20}}\approx 0,447$
4. $\theta \approx$ 63,4°

Hoek met de x-as (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 10)

Raaklijn met richtingsvector $(4\sqrt{3},4)$, $x$-as met richtingsvector $(1,0)$. $\cos \theta =\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{48+16}\cdot 1}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$, dus $\theta =30°$.

Valkuilen

• De lengtes in de noemer vergeten, of alleen het inproduct als “de hoek” geven.
• Bij lijnen een stompe hoek laten staan (de hoek tussen lijnen is hoogstens 90°).
• Een richtingsvector van een raaklijn verwarren met de plaatsvector van het raakpunt.

Test jezelf

Staan $(2,-3)$ en $(6,4)$ loodrecht op elkaar?

$2\cdot 6+(-3)\cdot 4=12-12=0$: ja.

Voor welke $p$ staat $(p,2)$ loodrecht op $(4,-6)$?

$4p-12=0\Rightarrow p=3$.

Wat weet je van $\theta$ als $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$?

$\cos \theta <0$, dus de hoek tussen de vectoren is stomp.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 2, vraag 17: hoek van 45° als vergelijking (6p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 9: hoek tussen raaklijnen in een zelfsnijpunt (5p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 7: loodrecht via inproduct 0 (4p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 15: gelijke hoeken aantonen (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 7 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2026 — 87,5%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — hoek tussen twee raaklijnen (richtingsvectoren) in het zelfsnijpunt berekend via cos(θ) = (v₁·v₂)/(|v₁||v₂|).
  • Komt 1× voor, kernstap van de hoofdmethode (3 van de 5 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cos(θ) = (v·w)/(|v|·|w|) voor de hoek tussen raaklijn en x-as, met richtingsvectoren (4√3,4) en (1,0).
  • Komt 1× voor, als alternatieve methode naast de dy/dx-aanpak.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Uit OP·v volgt sin(t)·cos(t) + cos(t+¼π)·(−sin(t+¼π)) = 0”, de inproductformule a·b=0 ⟺ loodrecht rechtstreeks toegepast.
  • Vraag 17 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cos(∠(OP,OQ)) = (OP·OQ)/(|OP|·|OQ|) expliciet gebruikt om de hoek van 45° te vertalen naar een vergelijking.
  • Komt 2× voor, beide keren kernstap (samen ruim de helft van de scorepunten van beide vragen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(hoek(EP,EF)) en cos(hoek(ED,EF)) berekend via het inproduct van de vectoren EP, ED en EF, om aan te tonen dat beide hoeken gelijk zijn.
  • Komt 1× voor, één van de aangeboden oplosroutes voor vraag 15 (niet de enige, maar wel expliciet met inproduct).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 6 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift, als alternatieve oplossingsmethode — richtingsvector van AB is (1,1) en van BB’ is (3,−1); “Er geldt dus cos(∠ABB’) = ((1,1)·(3,−1))/(√2·√10)”, gevolgd door het oplossen van een vergelijking met k via deze hoekrelatie.
  • Komt 1× voor, in één van de alternatieve oplosroutes van vraag 6 (geen aparte losse inproduct-vraag, wel een volwaardig scorepunten-pad).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingsvector van AB in inproduct met richtingsvector van DM gelijkgesteld aan 0 (loodrechte stand van de middelloodlijn).
  • Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (vectormethode) — MP·DP=0 als voorwaarde voor loodrechte stand.
  • Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, OP·OQ=0 als voorwaarde voor OP⊥OQ.
  • Komt 2× voor, beide keren de kernvoorwaarde “loodrecht” vertaald naar een inproduct dat gelijk is aan 0.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 5 (3p): kernonderdeel (eerste methode) — BS·HD=0 uitrekenen om loodrechte stand aan te tonen.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — MA·richtingsvector=0 als loodrecht-voorwaarde.
  • Komt 2× voor, telkens als (een van de) directe manier(en) om loodrechte stand te bewijzen.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 8 (6p): kernonderdeel — cos(hoek) = (v·w)/(|v||w|) herhaaldelijk toegepast om cos(∠PCA) en cos(∠ACQ) te berekenen en gelijk te stellen.
  • Vraag 9 (7p): kernonderdeel (hoofdmethode) — PB·QM = 0 als loodrechtheidsvoorwaarde.
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cos(120°) = (OP·OP’)/(|OP||OP’|).
  • Frasering: “loodrecht staat op” (⇒ inproduct = 0), “de hoek tussen de vectoren … is gelijk aan …”. Komt 3× terug, telkens kernonderdeel of hoofdroute (19 scorepunten samen) — sterk aanwezig dit tijdvak.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — hoek φ tussen OF en lijn k berekend via cos(φ) = (inproduct van richtingsvectoren) / (product van lengtes).
  • Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute (niet de hoofdmethode, maar volledig scoregevend).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 12 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — PQ·QR=0 als loodrechte voorwaarde, uitgewerkt met vectorcoördinaten.
  • Vraag 14 (8p): kernonderdeel — “∠APB=90°, dus AP·BP=0”, inproduct van AP en BP uitgeschreven en gelijkgesteld aan 0.
  • Komt 2× voor, in v14 de hoofdmethode (meerdere scorepunten).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (eerste oplosmethode) — cos(φ) = (v₁·v₂)/(|v₁|·|v₂|) toegepast op de twee snelheidsvectoren (−2,1) en (−2,3), geeft cos(φ) = 7/√65.
  • Komt 1× voor, kernstap van één van de twee toegestane oplosmethoden (3 van de 6 scorepunten).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — CQ · PD = 0 als loodrechtheidsvoorwaarde.
  • Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (hoofdmethode) — MF·MB=0 en MG·MA=0 om te bewijzen dat ∠(MF,MB)=∠(MG,MA)=90°.
  • Komt 2× voor, beide keren als methode om loodrechtheid/rechte hoeken aan te tonen.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vector

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)