Scheiden van variabelen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Bereken de algemene oplossing” van vier vergelijkingen die je met scheiden van variabelen oplost (diagnostische toets 6). Nodig voor alle rekenwerk in §15.4 en §15.5. Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Het verschil tussen een particuliere en de algemene oplossing uitleggen.
• De standaardgevallen $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=g(t)$ en $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay$ direct oplossen.
• Een vergelijking herleiden tot $\int f(y)\mathrm{d}y=\int g(t)\mathrm{d}t$ en primitiveren.
• Met een beginvoorwaarde $c$ berekenen.

De kern

Alle oplossingen van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3t$ zijn van de vorm $y(t)=1\frac{1}{2}{t}^2+c$: dat is de algemene oplossing. Eén ervan, zoals $y(t)=1\frac{1}{2}{t}^2+5$, is een particuliere oplossing.

differentiaalvergelijking	algemene oplossing
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=g(t)$	$y(t)=G(t)+c$, met $G$ een primitieve van $g$
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay$	$y(t)=c\cdot e^{at}$
herleidbaar tot $\int f(y)\mathrm{d}y=\int g(t)\mathrm{d}t$	$F(y)=G(t)+c$

Scheiden van variabelen. Breng alles met $y$ naar links (bij $\mathrm{d}y$) en alles met $t$ naar rechts (bij $\mathrm{d}t$): $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{t^2}{y}\Rightarrow \int y\mathrm{d}y=\int t^2\mathrm{d}t\Rightarrow \frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{3}{t}^3+c$ Twee integratieconstanten $c_1$ en $c_2$ voeg je samen tot één constante $c$.

Met ln. Bij $\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln |y|$ werk je naar $y=\dots$ toe: $\ln (y)=h(t)+c_1$ geeft $y=e^{h(t)+c_1}=e^{c_1}\cdot e^{h(t)}=c\cdot e^{h(t)}$ met $c>0$ (bij $y>0$).

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken de algemene oplossing.” (diagnostische toets 6, opgave 36–A37).
• “Welke van deze functies zijn oplossing van D₁?” (opgave 34).
• “Voor de ontlaadstroom blijkt de formule I(t) = 5·e⁻ᵗ te gelden. Bereken I(0) en de waarde van R·C.” (opgave A38).

Uitgewerkt voorbeeld

Vier keer scheiden van variabelen (vergelijk H15 diagnostische toets 6)

a $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{y}{t}$ met $t>0\wedge y>0$

1. $\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int \frac{1}{t}\mathrm{d}t$ geeft $\ln (y)=\ln (t)+c_1$
2. Schrijf $c_1=\ln (e^{c_1})$: $\ln (y)=\ln (e^{c_1}t)$, dus $y=ct$ met $c>0$.

b $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{t}{y}$: $\int y\mathrm{d}y=\int t\mathrm{d}t$ geeft $\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{2}{t}^2+c$.

c $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y-ty=y(1-t)$ met $y>0$

1. $\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int (1-t)\mathrm{d}t$ geeft $\ln (y)=t-\frac{1}{2}{t}^2+c_1$
2. $y=e^{c_1}\cdot e^{t-\frac{1}{2}{t}^2}=c\cdot e^{t-\frac{1}{2}{t}^2}$ met $c>0$.

d $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{t+3}{2-2y}$: $\int (2-2y)\mathrm{d}y=\int (t+3)\mathrm{d}t$ geeft $2y-y^2=\frac{1}{2}{t}^2+3t+c$.

Controle met sympy: alle vier voldoen aan de differentiaalvergelijking ✓

Met een beginvoorwaarde (vergelijk H15 opgave A38)

Bij het ontladen van een condensator geldt $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\frac{-1}{R\cdot C}\cdot I$. Voor een stroomkring met $R\cdot C=10$ geldt $I(2)=3$. Bereken $I(0)$.

1. $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{10}I$ is van de vorm $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay$, dus $I(t)=c\cdot e^{-\frac{1}{10}t}$.
2. $I(2)=3$ geeft $c\cdot e^{-\frac{1}{5}}=3$, dus $c=3e^{\frac{1}{5}}=3\sqrt[5]{e}$.
3. $I(0)=c\cdot e^0=3\sqrt[5]{e}$ ($\approx 3,66$).

Valkuilen

• De integratieconstante vergeten, of aan beide kanten een aparte $c$ laten staan.
• $e^{h(t)+c_1}$ schrijven als $e^{h(t)}+c$. Het is $e^{c_1}\cdot e^{h(t)}$: de constante wordt een factor.
• $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y-ty$ niet eerst ontbinden tot $y(1-t)$, waardoor je niet ziet dat je kunt scheiden.
• Bij $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay$ de oplossing $y=e^{at}+c$ geven. Het is $c\cdot e^{at}$.
• Scheiden bij een vergelijking als $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y+t$: dat kan niet, die los je op als lineaire vergelijking (§15.4).

Test jezelf

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\cos (t)+t^2+5$.

$y(t)=\sin (t)+\frac{1}{3}{t}^3+5t+c$.

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0,2y$.

$y(t)=c\cdot e^{0,2t}$.

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{3-t}{y+2}$.

$\int (y+2)\mathrm{d}y=\int (3-t)\mathrm{d}t$ geeft $\frac{1}{2}{y}^2+2y=3t-\frac{1}{2}{t}^2+c$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O34 · uitwerking: particuliere oplossingen herkennen
• H15 opgave 35–36 · uitwerking: algemene oplossingen
• H15 opgave A37 · uitwerking: scheiden met ln
• H15 opgave A38 · uitwerking: condensator
• H15 diagnostische toets 6 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §15.3 Theorie B: Algemene oplossingen van differentiaalvergelijkingen (blz. 129–130)
• Scheiden van variabelen, met Voorbeeld (blz. 130)
• Terugblik §15.3 (blz. 132)
• Diagnostische toets 6 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Oplossingen van differentiaalvergelijkingen
• Primitieve functie
• Logaritmische functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
• Kwadratische differentiaalvergelijkingen