Raaklijn aan een cirkel

Prioriteit: 🟠 Midden

In 3 van de 8 onderzochte examenjaren, maar alle drie recent (2024–2026), telkens als thema van een hele opgave (9 punten per opgave).

Wat moet je kunnen?

• De raaklijn opstellen in een punt op de cirkel (loodrecht op de straal).
• Een raaklijn met een gegeven richting vinden (discriminant 0).
• De raakvoorwaarde gebruiken: afstand middelpunt tot lijn = straal.

De kern

Situatie	Aanpak
raakpunt $P$ op de cirkel	rc raaklijn $=-\frac{1}{\text{rc }MP}$
gegeven rc $m$	$y=mx+n$ invullen, discriminant $=0$ geeft $n$
punt buiten de cirkel	twee raaklijnen; discriminant $=0$ geeft de rc’s
cirkel raakt een lijn	afstand $M$ tot lijn $=$ straal
cirkel raakt de $y$-as	$|x_M|=r$

• Twee raaklijnstukken vanuit hetzelfde punt zijn even lang (zie Meetkundige stellingen cirkel).
• Zie ook Snijpunten van lijnen en cirkels en Vergelijking van een cirkel.

Zo wordt het gevraagd

• “Er is één waarde van a waarvoor deze cirkel raakt aan de y-as.” (2024-2 vraag 12, 6p).
• Cirkel $c_1$ raakt lijn $k$ in $R_1$; middelpunten berekenen via de raakvoorwaarde (2025-1 vraag 14–15).
• Straal als halve afstand tussen twee evenwijdige raaklijnen (2025-2 vraag 18).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn met gegeven richting

Welke lijnen met rc 2 raken de cirkel $x^2+y^2=5$?

1. $y=2x+n$ invullen: $x^2+(2x+n{)}^2=5\Rightarrow 5x^2+4nx+n^2-5=0$
2. $D=16n^2-20(n^2-5)=100-4n^2=0\Rightarrow n=\pm 5$
3. $y=2x+5$ en $y=2x-5$

Valkuilen

• De rc van de straal gebruiken in plaats van de loodrechte rc.
• Bij een punt buiten de cirkel maar één raaklijn geven.
• Vergeten dat “raakt de $y$-as” betekent dat de straal gelijk is aan $|x_M|$.

Test jezelf

Geef de raaklijn aan $x^2+y^2=25$ in het punt $(3,4)$.

rc $MP=\frac{4}{3}$, dus rc raaklijn $-\frac{3}{4}$: $y=-\frac{3}{4}(x-3)+4$, oftewel $3x+4y=25$.

Een cirkel met middelpunt $(4,7)$ raakt de $y$-as. Wat is de straal?

$r=4$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 2, vraag 12: cirkel raakt de $y$-as (6p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 14–15: raaklijn met twee cirkels (4p + 5p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 15–16: twee cirkels met raaklijnen (4p + 5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 3 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2024, 2025, 2026 — 37,5%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 15 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “lijn k raakt c1 in punt A” en “lijn l … raakt c2 in punt B”.
  • Vraag 16 (5p): in vraagstelling — zelfde raaklijnconfiguratie, gebruikt om de rechthoek EFDC op te bouwen.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Twee cirkels” (9 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 14 (4p): in vraagstelling — “De cirkel raakt aan lijn k”, “Cirkel c1 heeft middelpunt M1 en raakt aan lijn k in het punt R1.”
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, coördinaten van M1 en M2 berekenen via PP’ = straal = PA = PB (raakvoorwaarde).
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Een raaklijn met twee cirkels” (9 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 18 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — straal van de cirkel bepaald als de helft van de afstand tussen de twee (evenwijdige) scheve asymptoten (afstand middelpunt tot raaklijn = straal).
  • Komt 1× voor, kernstap van de vraag.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 12 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is één waarde van a waarvoor deze cirkel raakt aan de y-as.” Bijzonder geval: raken aan een coördinaatas.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een cirkel
• Meetkundige stellingen cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)