Vergelijking van een cirkel

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als eerste stap in een cirkelopgave (vergelijking opstellen) of in het correctievoorschrift als methode (4–6p-vragen).

Wat moet je kunnen?

• De vergelijking opstellen bij een gegeven middelpunt en straal, of bij een middellijn.
• Uit $x^2+y^2+px+qy+c=0$ het middelpunt en de straal halen.
• Controleren of een punt op, binnen of buiten de cirkel ligt.

De kern

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Gegeven	Aanpak
middelpunt $M$ en een punt $P$ op de cirkel	$r=MP$
middellijn $AB$	$M$ = midden van $AB$, $r=\frac{1}{2}AB$
$x^2+y^2+px+qy+c=0$	kwadraat afsplitsen per variabele

Kwadraat afsplitsen: $x^2+px=(x+\frac{p}{2}{)}^2-(\frac{p}{2}{)}^2$.

• Rechterlid $<0$ na afsplitsen: geen cirkel; $=0$: één punt.
• Zie Snijpunten van lijnen en cirkels, Raaklijn aan een cirkel en Parametervoorstelling.

Zo wordt het gevraagd

• Uit $P(7,24)$ en middelpunt $O$: $x^2+y^2=625$ (2026-1 vraag 1).
• $(x-1{)}^2+y^2=2^2$ als cirkel met middellijn $AB$ (2024-1 vraag 11).
• Cirkel $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=4$ (2023-1 vraag 16).
• Cirkel die twee asymptoten en de $x$-as raakt: middelpunt en straal bepalen (2025-2 vraag 18).

Uitgewerkt voorbeeld

Middelpunt en straal

$x^2+y^2-6x+4y-12=0$

1. $(x-3{)}^2-9+(y+2{)}^2-4-12=0$
2. $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$
3. Middelpunt $(3,-2)$, straal 5.

Cirkel met middellijn (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 11)

$A(-1,0)$ en $B(3,0)$ zijn de eindpunten van een middellijn.

1. $M=(1,0)$, $r=\frac{1}{2}\cdot 4=2$
2. $(x-1{)}^2+y^2=4$. Controle: $A$: $(-2{)}^2+0=4$. ✓

Valkuilen

• Het teken omdraaien: $(x+2{)}^2$ hoort bij middelpunt $x=-2$.
• $r^2$ als straal opgeven.
• Bij kwadraat afsplitsen het afgetrokken kwadraat vergeten.

Test jezelf

Ligt $(3,4)$ op $x^2+y^2=25$?

$9+16=25$: ja.

Geef de vergelijking van de cirkel met middelpunt $(0,0)$ door $P(7,24)$.

$r^2=49+576=625$: $x^2+y^2=625$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 1: cirkel door P, snijpunt S exact (4p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 16: cirkel met middelpunt (4, 2) (6p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 18: cirkel die asymptoten en $x$-as raakt (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — uit P(7,24) en middelpunt O wordt 7²+24²=625 berekend, dus de cirkel c heeft vergelijking x²+y²=625. Noodzakelijke eerste stap voordat het snijpunt met lijn k bepaald kan worden.
  • Komt 1× voor, ondersteunende stap (1 van de 4 scorepunten).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 15 (5p): impliciet zichtbaar — de eis dat A en B op de cirkel liggen en de cirkel raakt aan k, wordt vertaald naar afstandsvergelijkingen (PB=PP’) in plaats van een expliciete cirkelvergelijking; conceptueel wel de basis van de opgave.
  • Komt 1× voor, ondersteunend/conceptueel (geen losse scorepunten specifiek voor het opstellen van een cirkelvergelijking als zodanig).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 18 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M die beide scheve asymptoten en de x-as raakt; straal en middelpunt bepalen uit de raakvoorwaarden.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — (x−1)²+y² = 2² als vergelijking van cirkel c (middellijn AB).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke stap binnen vraag 11.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — (x−r)²+y²=r² als vergelijking van cirkel c met middelpunt (r,0).
  • Komt 1× voor, als een van de oplosroutes.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel c met middelpunt M(4,2) en straal 2: (x−4)²+(y−2)²=4.
  • Komt 1× voor, basis van de hele vraag (6p).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Een vergelijking van de cirkel met middellijn DB is x² + y² = 1.”
  • Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (methode via de stelling van Thales) — cirkel met middellijn MD, vergelijking (x−½)²+(y−1)²=5/4.
  • Vraag 13 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking van cP (x²+y²=4) en van de baan van M (cirkel cM) opgesteld om snijpunten te vinden.
  • Komt 2× voor, telkens als (één van de) oplosroutes binnen een grotere vraag.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 5 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — cirkel met middelpunt C door B: (x−2)²+y²=½.
  • Vraag 17 (6p): kernonderdeel — cirkel met middelpunt M(r,0) en straal r: (x−r)²+y²=r², punt B ligt op de cirkel.
  • Komt 2× voor (6 van de 9 scorepunten van vraag 17 hangen hiervan af).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 6 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — x²+y²=240² (cirkel om S) en (x−192)²+(y−128)²=80² (cirkel om T).
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “P ligt op de cirkel met middelpunt O en straal p: x²+y²=p².”
  • Komt 2× voor (12 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 10 (7p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. “Voor c1 geldt: x²+y²−12x=32, het middelpunt is M1 en y≥0” (let op: pdftotext-extractie verliest hier vermoedelijk een minteken — het correctievoorschrift herleidt de vergelijking tot (x−6)²+y²=4, dus de oorspronkelijke vergelijking is waarschijnlijk x²+y²−12x=−32; controleer dit desgewenst met de Read-tool als afbeelding). Cirkelvergelijking herleiden naar middelpunt/straal-vorm is kernstap.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de zwaarste vraag dit tijdvak (7p).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 1 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Een vergelijking van c is (x−1)²+(y−7)²=25”, cirkel c met middelpunt (1,7) en straal √5.
  • Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cirkel met middellijn AB: “(x−20)²+(y−5)²=425” (stelling van Thales, ∠APB=90° ⇔ P op cirkel met middellijn AB).
  • Komt 2× voor: 1× als startpunt van de opgave, 1× als alternatieve oplosroute.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M(0,r) en straal r: x² + (y−r)² = r².
  • Komt 1× voor, basis van de hele opgave “Parabool en cirkel met variabele straal” (5p).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel van het eerste deel: vergelijking van cirkel c, (x−14)²+(y−8)²=10², gebruikt om A en B te vinden.
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 5 scorepunten hangen hiervan af).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 8 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Stel een vergelijking op van deze cirkel” (cirkel door B, C, P).
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — cirkel (x−3)²+(y−2)²=5 gegeven, gebruikt om F te bepalen.
  • Ook zichtbaar in opgave “IJsbol” (v4): cirkel x²+y²=2,25 als basis van het omwentelingslichaam.
  • Komt 3× terug (10+ scorepunten indirect betrokken).

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Snijpunten van lijnen en cirkels
• Raaklijn aan een cirkel
• Parametervoorstelling