Buigpunten

Prioriteit: 🟠 Midden

In 4 van de 8 onderzochte examenjaren, als kernstap: buigpunten berekenen, de raaklijn in het buigpunt, of de grootste helling (4–7p).

Wat moet je kunnen?

• Buigpunten berekenen met $f^{\prime \prime }(x)=0$ en een tekenwisseling van $f^{\prime \prime }$.
• Toenemend en afnemend stijgen of dalen herkennen met $f^{\prime \prime }$.
• Gebruiken dat de helling in een buigpunt extreem is.

De kern

Teken van $f^{\prime \prime }$	Grafiek
$f^{\prime \prime }>0$	hol (helling neemt toe)
$f^{\prime \prime }<0$	bol (helling neemt af)
$f^{\prime \prime }$ wisselt van teken	buigpunt

• $f^{\prime \prime }(x)=0$ is niet genoeg: bij $f(x)=x^4$ is $f^{\prime \prime }(0)=0$, maar er is geen buigpunt.
• “Grootste helling” betekent: maximum van $f^{\prime }$, dus $f^{\prime \prime }(x)=0$ (zie Stijgen, dalen en extremen).
• Zie ook Raaklijn voor de raaklijn in het buigpunt.

Zo wordt het gevraagd

• Bewijzen welke $y$-coördinaat de buigpunten van $f(x)=x^4-30x^2$ hebben (2025-1 vraag 1).
• “De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt.” (2022-2 vraag 2).
• Het maximum van de absolute waarde van de helling via $f^{\prime \prime }(x)=0$ (2023-2 vraag 15).

Uitgewerkt voorbeeld

Buigpunten van een veelterm (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 1)

$f(x)=x^4-30x^2$

1. $f^{\prime }(x)=4x^3-60x$, $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-60$
2. $f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow x^2=5\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$; $f^{\prime \prime }$ wisselt daar van teken
3. $f(\sqrt{5})=25-150=-125$, en door symmetrie ook $f(-\sqrt{5})=-125$
4. Buigpunten: $(-\sqrt{5},-125)$ en $(\sqrt{5},-125)$

Valkuilen

• De tekenwisseling van $f^{\prime \prime }$ niet noemen of controleren.
• $f^{\prime }(x)=0$ oplossen in plaats van $f^{\prime \prime }(x)=0$.
• Alleen de $x$-coördinaat geven als naar het buigpunt gevraagd wordt.

Test jezelf

Bereken het buigpunt van $g(x)=x^3-6x^2+4$.

$g^{\prime \prime }(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2$; $g(2)=-12$: buigpunt $(2,-12)$.

Wat is de helling van $g$ in dat buigpunt, en is dat de grootste of de kleinste helling?

$g^{\prime }(2)=12-24=-12$. Dit is de kleinste helling, want $g^{\prime \prime }<0$ links van 2 en $g^{\prime \prime }>0$ rechts ervan.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 1: buigpunten van een vierdegraadsfunctie (4p)
• 2022 tijdvak 2, vraag 2: raaklijn in het buigpunt (5p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 15: grootste helling (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 4 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2021, 2022, 2023, 2025 — 50%.

• 2025 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel. f(x) = x⁴ − 30x², bewijs dat y-coördinaat van de buigpunten 125 is (via f”(x)=0). Frasering: “Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten … is.” Kernonderdeel van vraag 1, volledig 4 scorepunten.
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling — de buigpunten B en C (uit vraag 1) worden gebruikt om de lijn te bepalen die de grafiek snijdt in A en D. Indirect gebruik, geen scorepunten voor buigpunten zelf maar wel randvoorwaarde van de opgave.
  • Totaal: 2× dit tijdvak (v1 kernonderdeel, v2 randvoorwaarde).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 15 (5p): kernonderdeel — het maximum van de absolute waarde van de helling (dus van f’) wordt gevonden via f”(x) = 0, wat neerkomt op het zoeken van de buigpunten van f (x² = 50, dus x = ±√50).
  • Frasering: “Dit kun je controleren door te bepalen hoe groot het maximum van de absolute waarde van de helling is.”
  • Komt 1× voor, maar kernonderdeel van de vraag (meerdere van de 5 scorepunten hangen af van het correct vinden van dit buigpunt/extreme van f’).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel. “De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt.” Buigpunt gevonden via f”(x)=0 → x=¼.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f”(x)=0 gebruikt om het buigpunt van f(x)=e^(1/x) te vinden; de gevraagde raaklijn met grootste x-coördinaat van S blijkt de raaklijn in het buigpunt te zijn.
  • Komt 1× voor, in de alternatieve oplosroute (niet de hoofdmethode, maar volledig scoregevend).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Afgeleide functie
• Stijgen, dalen en extremen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)