Bollen van Dandelin

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Een bewijs-/toelichtvraag: “Licht toe dat PF₁ = PA” en “Hoe volgt hieruit dat P op een ellips ligt?”. Weinig rekenwerk, wel precies redeneren.

Wat moet je kunnen?

• Uitleggen welke kegelsnede ontstaat bij welke hellingshoek van het snijvlak.
• Met de bollen van Dandelin toelichten waarom de doorsnede een ellips, hyperbool of parabool is.

De kern

Een kegelvlak ontstaat door een lijn $l$ door $O$ (richtingshoek $\alpha$) om de $y$-as te wentelen. Snijd het met een vlak $V$ (hellingshoek $\phi$) dat niet door $O$ gaat:

Hellingshoek	Doorsnede
$\phi =0$	cirkel
$0<\phi <\alpha$	ellips (gesloten, één deel van de kegel)
$\phi =\alpha$ ($V$ evenwijdig aan een beschrijvende lijn)	parabool
$\alpha <\phi <90°$	hyperbool (beide delen van de kegel)

Bollen van Dandelin: bollen met middelpunt op de as die zowel $V$ als het kegelvlak raken. Ze raken $V$ in de brandpunten $F_1$ en $F_2$.

Kernargument: raaklijnstukken vanuit een punt aan een bol zijn even lang. Voor een punt $P$ van de doorsnede, waarbij $PO$ de bollen raakt in $A$ en $B$:

• $P{F}_1=PA$ en $P{F}_2=PB$
• Ellips: $P{F}_1+P{F}_2=PA+PB=AB$, en $AB$ is constant
• Hyperbool: $P{F}_2-P{F}_1=PB-PA=AB$, constant
• Parabool: één bol, en via $PF=PA=QB=SC=PD$ volgt $d(P,F)=d(P,l)$

Zo wordt het gevraagd

• “Licht toe dat de doorsnede van V met het kegelvlak een ellips is als 0 < φ < α.” (opgave 2).
• “Licht toe dat PF₁ = PA en PF₂ = PB. Hoe volgt hieruit dat P op een ellips ligt?” (opgave 3–5).
• Scoren doe je met de juiste redenering, niet met een getal.

Uitgewerkt voorbeeld

Waarom een ellips? (vergelijk H13 opgave 3)

1. $P{F}_1$ ligt in $V$ en $V$ raakt de kleine bol in $F_1$, dus $P{F}_1$ is een raaklijnstuk aan de kleine bol.
2. De lijn $OP$ raakt de kleine bol in $A$, dus ook $PA$ is een raaklijnstuk vanuit $P$.
3. Raaklijnstukken vanuit één punt aan een bol zijn even lang: $P{F}_1=PA$. Zo ook $P{F}_2=PB$.
4. $P{F}_1+P{F}_2=PA+PB=AB$.
5. $A$ en $B$ liggen op de vaste raakcirkels van de bollen met de kegel, dus $AB$ is voor elk $P$ gelijk.
6. De som van de afstanden tot $F_1$ en $F_2$ is constant: $P$ ligt op een ellips met brandpunten $F_1$ en $F_2$.

Valkuilen

• Alleen “de afstanden zijn gelijk” schrijven zonder te zeggen waarom (raaklijnstukken aan dezelfde bol).
• Vergeten te beargumenteren dat $AB$ constant is.
• Bij de parabool twee bollen tekenen: er is er maar één, omdat $V$ evenwijdig is aan een beschrijvende lijn.

Test jezelf

Welke doorsnede krijg je als $V$ beide delen van de kegel snijdt?

Een hyperbool (twee takken).

Waarom is er bij de parabool maar één bol van Dandelin?

$V$ is evenwijdig aan een beschrijvende lijn $k$ van de kegel. Aan de andere kant van $V$ past geen bol die zowel $V$ als het kegelvlak raakt (zie de figuur bij opgave 5a).

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 2 · uitwerking: hellingshoek en soort kegelsnede
• H13 opgave 4 · uitwerking: hyperbool
• H13 opgave 5 · uitwerking: parabool (loopt door tot de volgende pagina)

Bronnen

• §13.1 Theorie A: De bollen van Dandelin (blz. 14–15)
• §13.1 Geschiedenis: Germinal Pierre Dandelin (blz. 15)
• Terugblik §13.1: Ellips, parabool en hyperbool als kegelsnede (blz. 19)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Meetkundige stellingen cirkel (raaklijnstukken even lang)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Vergelijking van een ellips
• Vergelijking van een hyperbool
• Vergelijking van een parabool