Hyperbool als meetkundige plaats

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 9. Tekenopgaven: richtcirkel, toppen en asymptoten bij gegeven brandpunten of een gegeven asymptoot.

Wat moet je kunnen?

• Met het werkschema punten van een hyperbooltak construeren.
• Bewijzen dat $d(P,M)-d(P,F)=r$ (en omgekeerd).
• De richtcirkels, toppen en asymptoten construeren.

De kern

Definitie. Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt buiten de cirkel.

Werkschema: hetzelfde als bij de ellips ($V$ op $c$, lijn $k$ door $M$ en $V$, middelloodlijn $m$ van $FV$, $P=k\cap m$), maar nu ligt $F$ buiten $c$.

Bewijs van de eigenschap: $PF=PV$ en $d(P,M)=MV+PV=r+PF$, dus $d(P,M)-d(P,F)=r$. De andere tak hoort bij de cirkel met middelpunt $F$ en straal $r$. Samen: $|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=r$ Er zijn dus twee richtcirkels, elk met een brandpunt als middelpunt en straal $r$ (= afstand tussen de toppen, $2a$).

Asymptoten construeren

1. Teken vanuit $F$ de raaklijnen aan de richtcirkel $c$, met raakpunten $V_1$ en $V_2$.
2. De middelloodlijnen van $F{V}_1$ en $F{V}_2$ zijn de asymptoten.

Waarom: dan is $MV\perp FV$ en ook $m\perp FV$, dus $MV\parallel m$: er is geen snijpunt $P$ (opgave 33a).

Toppen: op de lijn $F_1{F}_2$; de top ligt midden tussen $F$ en het snijpunt van $F_1{F}_2$ met de richtcirkel.

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat uit d(P, F) = d(P, c) volgt d(P, M) − d(P, F) = r.” (opgave 31).
• “Teken een richtcirkel, de asymptoten en de toppen van h.” (opgave 34, diagnostische toets 7).
• “Van de hyperbool h is een van beide asymptoten, het brandpunt F₂ en de top T₂ gegeven. Teken F₁ en de richtcirkel.” (diagnostische toets 8).

Uitgewerkt voorbeeld

Richtcirkel uit brandpunten en een punt (vergelijk H9 diagnostische toets 7)

Gegeven: brandpunten $F_1$, $F_2$ en een punt $P$ van de hyperbool. Teken een richtcirkel.

1. Voor $P$ geldt $|P{F}_1-P{F}_2|=r$.
2. Teken de cirkel met middelpunt $P$ en straal $P{F}_2$. Die snijdt $P{F}_1$ in $V$, dus $PV=P{F}_2$.
3. Dan $F_{1}V=P{F}_1-P{F}_2=r$: de richtcirkel heeft middelpunt $F_1$ en straal $F_{1}V$.
4. Asymptoten: raaklijnen vanuit $F_2$ aan deze richtcirkel, dan de middelloodlijnen van $F_2{R}_1$ en $F_2{R}_2$.

Valkuilen

• Vergeten dat de definitie maar één tak oplevert. De tweede tak hoort bij de andere richtcirkel.
• De asymptoten door de raakpunten $V_1$, $V_2$ tekenen in plaats van als middelloodlijnen van $F{V}_1$ en $F{V}_2$.
• Denken dat de asymptoten door $M$ gaan; ze gaan door het midden van $F_1{F}_2$.

Test jezelf

De afstand tussen de brandpunten is 10 en de straal van de richtcirkels is 6. Bereken $b$.

$2a=6$, $a=3$; $2c=10$, $c=5$; $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25-9}=4$.

Waarom snijdt $m$ de lijn $MV$ niet als $FV$ de richtcirkel raakt?

$MV\perp FV$ (straal naar raakpunt) en $m\perp FV$ (middelloodlijn), dus $MV\parallel m$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H9 opgave 31 · uitwerking: het bewijs in beide richtingen
• H9 opgave 33 · uitwerking: asymptoten en symmetrieassen
• H9 opgave A35 · uitwerking: richtcirkel en een asymptoot
• H9 diagnostische toets 8 · uitwerking: asymptoot, brandpunt en top
• Gemengde opgave 5 · uitwerking: asymptoten en een bewijs

Bronnen

• §9.1 Theorie B: Ellipsen en hyperbolen (blz. 12–13)
• §9.2 Theorie D: De hyperbool als meetkundige plaats (blz. 24)
• Terugblik: De asymptoten van een hyperbool (blz. 27)
• Diagnostische toets 7–8 (blz. 37)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Meetkundige plaatsen
• Raaklijn aan een cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijneigenschappen ellips en hyperbool
• Vergelijking van een hyperbool