Kwadratische differentiaalvergelijkingen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Bereken na hoeveel minuten N voor het eerst minder dan vijf van de grenswaarde verschilt” bij $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=N\left(1-\frac{N}{665}\right)$ (diagnostische toets 8). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Logistische groei herkennen en het model $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=c\cdot N\cdot (G-N)$ opstellen, ook $c$ berekenen uit gegevens.
• De substitutie $y=\frac{1}{u}$ uitvoeren en de lineaire vergelijking in $u$ oplossen.
• Terugrekenen naar $y$ en $c$ bepalen met een beginwaarde.
• De grenswaarde gebruiken in een contextvraag, en een tijdstip berekenen met intersect.

De kern

Logistische groei (geremde groei). De groeisnelheid is evenredig met het aantal dat er al is en met wat er nog bij kan: $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=c\cdot N\cdot (G-N)$ $N=G$ is de horizontale asymptoot. De grafiek is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend stijgend; halverwege de grenswaarde groeit $N$ het snelst.

Differentiaalvergelijkingen van de vorm $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=A\cdot y^2+B\cdot y$ zijn kwadratische differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Om ze op te lossen pas je de substitutie $y=\frac{1}{u}$ toe.

Werkwijze

1. Substitueer $y=\frac{1}{u}$ en $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{u^2}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ (kettingregel; dit mag je zonder toelichting gebruiken).
2. Vermenigvuldig met $-u^2$: je krijgt $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-Bu-A$, een lineaire vergelijking.
3. Particuliere oplossing: de constante $u=-\frac{A}{B}$. Homogeen: $u=c_1{e}^{-Bt}$.
4. $y=\frac{1}{u}$, en vereenvoudig tot de vorm $y=\frac{\dots }{1+c\cdot e^{\dots }}$.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken na hoeveel minuten N voor het eerst minder dan vijf van de grenswaarde verschilt.” (diagnostische toets 8).
• “Bereken de algemene oplossing.” (opgave 50, A51).
• “Stel een formule op van de oplossingskromme door het punt (0, ⅕). Toon aan dat het punt (1, 2e/(4e − 3)) op de oplossingskromme door het punt (0, 2) ligt.” (opgave 52).
• “Bereken de populatiegrootte op t = 20. Bereken vanaf welke t er meer dan 5000 zeeotters zijn.” (opgave 53).

Uitgewerkt voorbeeld

Gistcellen (vergelijk H15 diagnostische toets 8)

$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=N\left(1-\frac{N}{665}\right)$ met $N=10$ op $t=0$, $t$ in uren. Na hoeveel minuten verschilt $N$ voor het eerst minder dan vijf van de grenswaarde?

1. $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=N-\frac{1}{665}{N}^2$. Substitutie van $N=\frac{1}{u}$: $-\frac{1}{u^2}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u}-\frac{1}{665}\cdot \frac{1}{u^2}$, dus $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{665}-u$.
2. Particuliere oplossing $u=\frac{1}{665}$; homogeen $u=c_1{e}^{-t}$. Dus $u(t)=c_1{e}^{-t}+\frac{1}{665}$.
3. $N=\frac{1}{u}=\frac{665}{665c_1{e}^{-t}+1}$, ofwel $N(t)=\frac{665}{1+c\cdot e^{-t}}$.
4. $N(0)=10$: $\frac{665}{1+c}=10$, dus $c=65,5$.
5. De grenswaarde is 665. Los op $N=660$: $y_1=\frac{665}{1+65,5e^{-x}}$, $y_2=660$, intersect geeft $x\approx 9,065$.
6. $9,065\cdot 60\approx 543,9$, dus na ongeveer 544 minuten.

Controle: exact is $65,5e^{-t}=\frac{5}{660}$, dus $t=\ln (8646)\approx 9,065$ uur. De uitwerking geeft "$x\approx 9,08$" en 545 minuten; dat wijkt iets af (zie Review).

Logistisch model opstellen (vergelijk H15 opgave 53)

Zeeotters: $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=c\cdot N\cdot (10000-N)$. Op $t=0$ zijn er 2000 zeeotters en de groeisnelheid is 350 per jaar.

1. $c\cdot 2000\cdot 8000=350$, dus $c=\frac{350}{1,6\cdot 10^7}=2,1875\cdot 10^{-5}$.
2. Via $N=\frac{1}{u}$ volgt $N(t)=\frac{10000}{1+c\cdot e^{-0,21875t}}$ en met $N(0)=2000$: $c=4$.
3. $N(20)=\frac{10000}{1+4e^{-0,21875\cdot 20}}\approx 9521$.
4. Meer dan 5000: intersect met $y_2=5000$ geeft $t\approx 6,3$.

Valkuilen

• Het minteken vergeten in $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{u^2}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$.
• Bij het vermenigvuldigen met $-u^2$ een term overslaan.
• Na het oplossen van $u$ vergeten terug te gaan naar $y=\frac{1}{u}$.
• Bij de beginwaarde $c$ in de $u$-formule en de $y$-formule door elkaar gebruiken: $c_1$ en $c$ zijn verschillende constanten.
• Een contextvraag in minuten beantwoorden terwijl $t$ in uren is (of andersom).

Test jezelf

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}y(1-y)$.

$y=\frac{1}{u}$ geeft $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}u$. Particulier $u=1$, homogeen $c_1{e}^{-\frac{1}{2}t}$. $y(t)=\frac{1}{1+c\cdot e^{-\frac{1}{2}t}}$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y-2y^2$. Geef de oplossingskromme door $(0,\frac{1}{5})$.

Algemene oplossing $y=\frac{1}{2+c\cdot e^{-t}}$. $y(0)=\frac{1}{5}$ geeft $2+c=5$, dus $c=3$: $y=\frac{1}{2+3e^{-t}}$.

Wat is de grenswaarde bij $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=0,7N\cdot \frac{400000-N}{400000}$?

$N=400000$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O49 · uitwerking: griepepidemie, geremde groei opstellen
• H15 opgave 50–A51 · uitwerking: substitutie $y=\frac{1}{u}$
• H15 opgave 52 · uitwerking: met beginwaarde
• H15 opgave 53–A55 · uitwerking: zeeotters, plantje, salamanders
• H15 diagnostische toets 8 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §15.4 Theorie B: Kwadratische differentiaalvergelijkingen van de eerste orde (blz. 138–139)
• §15.4 Voorbeeld: dy/dt = 4y² − 12y (blz. 140)
• Terugblik §15.4 (blz. 142)
• Diagnostische toets 8 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
• Scheiden van variabelen
• Kettingregel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)