Kettingregel

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 2–3 keer per tijdvak als rekenstap. Het correctievoorschrift kent soms geen punten toe voor een stap waarin de kettingregel niet is gebruikt (2024-1 vraag 6, 2023-1 vraag 18).

Wat moet je kunnen?

• In een samengestelde functie de binnenste en buitenste functie herkennen.
• De kettingregel toepassen, ook gecombineerd met product- en quotiëntregel.
• Het speciale geval $f(ax+b)$ herkennen: afgeleide $a\cdot f^{\prime }(ax+b)$.

De kern

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Functie	Binnenste $g$	Afgeleide
$(3x-7{)}^2$	$3x-7$	$2(3x-7)\cdot 3=6(3x-7)$
$\sqrt{2t^2+2}$	$2t^2+2$	$\frac{1}{2\sqrt{2t^2+2}}\cdot 4t=\frac{2t}{\sqrt{2t^2+2}}$
$e^{-0,15t}$	$-0,15t$	$-0,15e^{-0,15t}$
$\ln (e^x+1)$	$e^x+1$	$\frac{e^x}{e^x+1}$
$\sin (2x^2+1)$	$2x^2+1$	$4x\cos (2x^2+1)$
${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$	$\cos x$	$-2\sin x\cos x$

• Zie Samengestelde functies en Standaardafgeleiden.

Zo wordt het gevraagd

• Nooit los, altijd als stap: afgeleide van $(3x-7{)}^2$ (2024-1 vraag 6), van $\sqrt{\frac{1}{2}{x}^2+1}$ (2025-1 vraag 9), van $\ln (e^x+1)$ (2023-1 vraag 18).
• Scoringsregel: “Als … de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend.” (2024-1 vraag 6).
• Of: “Als een kandidaat de kettingregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal … scorepunten toekennen.” (2022-3).

Uitgewerkt voorbeeld

Wortelfunctie (examenstijl, vergelijk 2023-1 vraag 10)

$f(t)=\sqrt{2t^2+2}$

1. Herschrijf: $f(t)=(2t^2+2{)}^{\frac{1}{2}}$
2. Buitenste afgeleide: $\frac{1}{2}(2t^2+2{)}^{-\frac{1}{2}}$; binnenste afgeleide: $4t$
3. $f^{\prime }(t)=\frac{1}{2}(2t^2+2{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 4t=\frac{2t}{\sqrt{2t^2+2}}$

Logaritme van een som (examenstijl, vergelijk 2023-1 vraag 18)

$g(x)=\ln (e^x+1)$

1. Buitenste: $\ln u\to \frac{1}{u}$; binnenste: $u=e^x+1\to e^x$
2. $g^{\prime }(x)=\frac{1}{e^x+1}\cdot e^x=\frac{e^x}{e^x+1}$

Valkuilen

• De binnenste afgeleide vergeten (alleen $f^{\prime }(g(x))$ opschrijven).
• Bij ${\cos }^{2}x$ de kettingregel niet zien (het is $(\cos x{)}^2$).
• $(\ln 3x{)}^{\prime }=\frac{3}{x}$ schrijven: het is $\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$.

Test jezelf

$f(x)=e^{x^2}$

$f^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$

$f(x)=(5-2x{)}^4$

$f^{\prime }(x)=4(5-2x{)}^3\cdot -2=-8(5-2x{)}^3$

$f(x)={\sin }^{2}x$

$f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x$

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 1, vraag 6: afgeleide van $(3x-7{)}^2$ met scoringsregel (6p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 18: $\ln (e^x+1)$, kettingregel afgedwongen (3p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 9 en 18: wortelfuncties en $\ln (-x)$ (5p + 6p)
• 2022 tijdvak 3, vraag 14: afgeleide van ${\cos }^{2}x$ (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 5 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — V’(t) differentiëren van 75e^(−0,15t) en 75e^(−0,2t), lineaire substitutie in de exponent.
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van cos(3t) en sin(3t), lineaire substitutie (3t).
  • Komt 2× terug, telkens als noodzakelijke rekenstap verweven met een groter antwoord.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van √(½x²+1) resp. √(2x²−2), kettingregel nodig voor de wortelfunctie.
  • Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van 150+100cos(4t) naar t, kettingregel voor cos(4t).
  • Vraag 18 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van hq(x)=½ln(−x)+q, kettingregel voor ln(−x).
  • Komt 3× terug als noodzakelijke rekenstap, telkens verweven met een groter antwoord (typisch “Bepaal m.b.v. de afgeleide/kettingregel…” type toepassing, geen expliciete losse kettingregel-vraag).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van eᵃᵗ.
  • Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van (3x−7)². Expliciete opmerking: “Als in het eerste antwoordelement … de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend.”
  • Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van cos(4t) en sin(4t).
  • Komt 3× terug, bij vraag 6 zelfs met een expliciete scoringsregel over correct gebruik.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — (50−2,5L)^0,3 is een samengestelde functie, kettingregel nodig binnen de productregel-toepassing (zie ook expliciete opmerking hierboven).
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x)=a·e^(ax), kettingregel voor e
  • Komt 2× terug, beide keren essentiële rekenstap zonder losse scorepunten.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van √(2t²+2) naar t, kettingregel voor de wortelfunctie.
  • Vraag 18 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift, met expliciete opmerking — afgeleide van ln(eˣ+1) vereist de kettingregel (eˣ/(eˣ+1)); wordt de kettingregel niet gebruikt, dan mag voor dat antwoordelement geen scorepunt toegekend worden.
  • Komt 2× terug als noodzakelijke rekenstap, in vraag 18 zelfs expliciet afgedwongen door het correctievoorschrift.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) bevat de afgeleide van √(x+3), kettingregel nodig voor de wortelfunctie binnen het product |x|·√(x+3).
  • Opmerking bij vraag 12 noemt expliciet “productregel, quotiëntregel of kettingregel”.
  • Komt 1× voor als noodzakelijke rekenstap, verweven met Productregel.
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van sin(2x) is 2cos(2x), kettingregel nodig binnen de quotiëntregel-toepassing.
  • Komt 1× voor, verweven met een grotere afgeleide-berekening (geen losse kettingregel-vraag).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=2(2x−1)³+3(2x−1)², differentiëren van (2x−1)³ en (2x−1)² vereist kettingregel (inwendige afgeleide 2). Kernstap van het bewijs.
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=1/(2sin(x)) opgevat als (2sin(x))⁻¹, f’(x)=−cos(x)/(2sin²(x)) via kettingregel.
  • Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dT/dn bevat de term −1/n² (kettingregel/machtsregel op n⁻¹) naast de exponentiële term.
  • Komt 3× terug, steeds als noodzakelijke rekenstap onder een grotere vraag (geen losse kettingregel-vraag).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — F’(x) = (2x−11)/(x²−11x+30) via de kettingregel op ln(x²−11x+30). Expliciete opmerking: “Als een kandidaat de kettingregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 6 scorepunten toekennen” (later aangevuld: bij het tweede antwoordalternatief maximaal 1 scorepunt).
  • Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van e^(−2p) resp. e^p bij het differentiëren van R(p). Opmerking: “Als een kandidaat de ketting-, product- of quotiëntregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 6 scorepunten toekennen.”
  • Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van cos²(x) bij f_p’(x) = −4cos(x)sin(x) + p·sin(x). Opmerking: “Als een kandidaat de kettingregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.”
  • Komt 3× terug, telkens niet als losse vraag maar met een expliciete score-opmerking in het correctievoorschrift als de regel niet is toegepast — dus vakinhoudelijk zwaar meegewogen zonder eigen scorepunten.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 2cos(x) − 2cos(2x), afgeleide van cos(2x) vereist kettingregel.
  • Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t)=−3cos²(t)·sin(t), y’(t)=3sin²(t)·cos(t) (macht van cos(t)/sin(t) differentiëren, kettingregel nodig).
  • Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — A’(x) afleiden van A(x)=x/100−ln(1+x/100), kettingregel voor ln(1+x/100).
  • Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — g’(½p) afleiden van g(x)=√(2x), kettingregel voor de samengestelde wortelfunctie.
  • Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=(1/x²)·e^(1/x) afleiden van f(x)=e^(1/x), kettingregel voor de e-macht met inwendige functie 1/x.
  • Komt 4× terug, telkens als noodzakelijke rekenstap verweven met een groter antwoord (geen losse kettingregel-vraag).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d/dT[ln(ln(T/(T−1)))] = (1/ln(T/(T−1))) · d/dT[ln(T/(T−1))], twee keer kettingregel toegepast (buiten-ln, dan binnen-ln met breuk).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs (meerdere van de 5 scorepunten hangen hiervan af).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van f (reconstructie: f(x)=3cos(2x)−√x → f’(x)=−6sin(2x)−1/(2√x)), kettingregel nodig voor zowel cos(2x) als √x. Expliciete Opmerking in het correctievoorschrift: “Als de kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen” — bevestigt dat dit een expliciet beoordeeld onderdeel is.
  • Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p(x)=p+√(x−p), f_p’(x)=1/(2√(x−p)), kettingregel voor de wortelfunctie met inwendige functie x−p.
  • Komt 2× terug, beide keren met expliciete scoreconsequenties voor het correct toepassen.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift/aanvulling — expliciete opmerking: “Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel beide keren niet of niet correct heeft toegepast, dan geen scorepunten toekennen voor het eerste en tweede antwoordelement.”
  • Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van −cos(2x) vereist kettingregel (inwendige functie 2x). Opmerking: “Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen.”
  • Komt 2× terug, beide keren expliciet benoemd in het correctievoorschrift als aparte score-eis (niet alleen impliciete rekenstap, zoals in andere tijdvakken).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — h’(x) via afgeleide van √(x+1) binnen 2/(1+√(x+1)); Opmerking expliciet: “Als de kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.”
  • Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ln(ax) (via a/(ax)) binnen de productregel-toepassing op x·ln(ax); Opmerking: “Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.”
  • Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van sin(2t) en cos(2t) binnen x’(t); Opmerking: “Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.”
  • Komt 3× terug; in alle drie gevallen expliciet genoemd in een aparte “Opmerking” in het correctievoorschrift met een aftrekregel bij foutieve toepassing — sterk signaal dat dit los beoordeeld wordt.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Standaardafgeleiden
• Samengestelde functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bewijzen met differentiëren