Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Bereken de algemene oplossing” van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y+t+1$, $-3y-2e^t$, $y+\sin (t)+4\cos (t)$ (diagnostische toets 7). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Een lineaire differentiaalvergelijking herkennen en de homogene vergelijking opschrijven.
• Een particuliere oplossing zoeken met de juiste vorm (lineair, $A\cdot e^t$, $A\sin (t)+B\cos (t)$ of kwadratisch).
• De algemene oplossing opschrijven als som van beide, en met een beginvoorwaarde $c$ berekenen.
• Dit toepassen op een dynamisch model zoals $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=c(T-18)$.

De kern

eerste orde	vorm
lineair	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t)y+g(t)$, bijvoorbeeld $Ay+B$
homogene vergelijking	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t)y$, met algemene oplossing $y=c\cdot e^{F(t)}$

De algemene oplossing van de lineaire differentiaalvergelijking $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t)y+g(t)$ is de som van een particuliere oplossing en de algemene oplossing van de homogene vergelijking $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t)y$.

Werkwijze

1. Kies de vorm van de particuliere oplossing op grond van $g(t)$:

$g(t)$ bevat	probeer
een constante	$y=b$ (horizontale lijn)
$t$ en een constante	$y=at+b$
$t^2$	$y=a{t}^2+bt+c$
$e^t$ of $e^{2t}$	$y=A\cdot e^t$ of $A\cdot e^{2t}$
$\sin (t)$ en/of $\cos (t)$	$y=A\sin (t)+B\cos (t)$

2. Substitueer, en stel de coëfficiënten gelijk (moet kloppen voor elke $t$).
3. Homogeen: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ay$ geeft $y=c\cdot e^{at}$.
4. Algemene oplossing = particulier + homogeen. Gebruik eventueel $y(0)$ om $c$ te bepalen.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken de algemene oplossing.” (diagnostische toets 7, opgave 41–A44). Vaak met de hint “Gebruik dat de differentiaalvergelijking een particuliere oplossing heeft van de vorm y = A sin(t) + B cos(t)” (opgave 42).
• “Stel de formule op van y met y(0) = 1.” (opgave 45a).
• “Stel de formule op van T. Bereken algebraïsch na hoeveel minuten het blikje een temperatuur van 15 °C heeft.” (opgave A46).

Uitgewerkt voorbeeld

Lineaire particuliere oplossing (vergelijk H15 Voorbeeld blz. 135)

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-2y+\frac{1}{2}t-4$.

1. Stel $y=at+b$, dan $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a$. Substitutie: $a=-2(at+b)+\frac{1}{2}t-4=(-2a+\frac{1}{2})t-2b-4$.
2. Voor elke $t$: $-2a+\frac{1}{2}=0\wedge a=-2b-4$, dus $a=\frac{1}{4}$ en $b=-2\frac{1}{8}$.
3. Particuliere oplossing: $y=\frac{1}{4}t-2\frac{1}{8}$.
4. Homogeen: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-2y$ geeft $y=c\cdot e^{-2t}$.
5. Algemene oplossing: $y(t)=c\cdot e^{-2t}+\frac{1}{4}t-2\frac{1}{8}$.

Controle met sympy ✓

Met $\sin$ en $\cos$ (vergelijk H15 diagnostische toets 7c)

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y+\sin (t)+4\cos (t)$.

1. Stel $y=A\sin (t)+B\cos (t)$, dan $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=A\cos (t)-B\sin (t)$.
2. Substitutie: $A\cos (t)-B\sin (t)=(A+1)\sin (t)+(B+4)\cos (t)$.
3. Voor elke $t$: $A=B+4\wedge -B=A+1$, dus $2A=3$: $A=1\frac{1}{2}$ en $B=-2\frac{1}{2}$.
4. Homogeen: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y$ geeft $y=c\cdot e^t$.
5. Algemene oplossing: $y(t)=c\cdot e^t+1\frac{1}{2}\sin (t)-2\frac{1}{2}\cos (t)$.

Valkuilen

• Alleen de particuliere oplossing geven, zonder $c\cdot e^{at}$.
• Bij $A\sin (t)+B\cos (t)$ de afgeleide van $\cos$ fout: $(B\cos t{)}^{\prime }=-B\sin t$.
• De coëfficiënten van $\sin$ en $\cos$ door elkaar halen. Zet links en rechts eerst alles in de vorm $(\dots )\sin (t)+(\dots )\cos (t)$.
• Bij een beginvoorwaarde $c$ berekenen met alleen $c\cdot e^{at}$. Tel eerst de particuliere oplossing op en vul daarna $y(0)$ in: bij $y=c\cdot e^{-t}-3$ en $y(0)=1$ is $c=4$, niet $1$.

Test jezelf

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}y+2t-4$.

$y=at+b$: $a=(-\frac{1}{2}a+2)t-\frac{1}{2}b-4$, dus $a=4$, $b=-16$. $y(t)=c\cdot e^{-\frac{1}{2}t}+4t-16$.

Bereken de algemene oplossing van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2y-3e^t$.

$y=A{e}^t$: $A{e}^t=2A{e}^t-3e^t$, dus $A=3$. $y(t)=c\cdot e^{2t}+3e^t$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-y-3$ met $y(0)=1$. Geef $y$.

$y=-3$ is een particuliere oplossing, dus $y=c\cdot e^{-t}-3$. $y(0)=1$ geeft $c=4$: $y=4e^{-t}-3$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O39 · uitwerking: de som van twee oplossingen
• H15 opgave 41 · uitwerking: lineaire particuliere oplossing
• H15 opgave 42–43 · uitwerking: $A\sin (t)+B\cos (t)$ en $A\cdot e^t$
• H15 opgave A44 · uitwerking: zelf de vorm kiezen
• H15 opgave 45–A46 · uitwerking: beginvoorwaarde, colablikje
• H15 diagnostische toets 7 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §15.4 Theorie A: Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde (blz. 133–134)
• Informatief: De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking (blz. 134)
• §15.4 Voorbeeld: lineaire particuliere oplossing (blz. 135)
• Terugblik §15.4: Zoeken naar een particuliere oplossing (blz. 142)
• Diagnostische toets 7 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Scheiden van variabelen
• Oplossingen van differentiaalvergelijkingen
• Dynamische modellen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kwadratische differentiaalvergelijkingen