Variabele punten en kegelsneden

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Een typische slotvraag van een kegelsnede-opgave (vaak 5+ punten), die poollijn, raaklijn en loodrechte lijnen combineert.

Wat moet je kunnen?

• Een variabel punt op een lijn of parabool schrijven met een parameter: $P(-4,\lambda )$, $P({\lambda }^2,2\lambda )$, $P(3\lambda +4,2\lambda )$.
• De lijnen door $S$ opstellen in termen van $\lambda$.
• $\lambda$ elimineren en de kromme herkennen.

De kern

1. Kies een handige parametrisatie. Op $y^2=4x$: kies $y=2\lambda$, dan $x={\lambda }^2$ (geen breuken).
2. Stel de twee lijnen op waarvan $S$ het snijpunt is (vaak de poollijn, een lijn door $O$, of een loodlijn met ${\text{rc}}_1\cdot {\text{rc}}_2=-1$).
3. Maak in beide vergelijkingen $\lambda$ vrij.
4. Stel de twee uitdrukkingen gelijk en werk de breuken weg.
5. Herleid en benoem de kromme met Kegelsneden onderzoeken.

Zo wordt het gevraagd

• “K is de kromme waarop alle punten S liggen als P over l beweegt. Stel algebraïsch een vergelijking op van K.” (opgave 54–59, diagnostische toets 14–15, gemengde opgave 10–11).
• Vaak eerst: “Maak een tekening met GeoGebra en ontwikkel een vermoeden.” In een SE zonder GeoGebra blijft alleen het algebraïsche deel over.

Uitgewerkt voorbeeld

Poollijn en lijn door A (vergelijk H13 opgave 54)

Gegeven: $A(-2,0)$, $l:x=2$ en de cirkel $x^2+y^2=4$. $P$ ligt op $l$, de poollijn $p$ van $P$ snijdt $AP$ in $S$. Stel een vergelijking op van de kromme $K$ van $S$.

1. $P(2,\lambda )$. Poollijn $p:2x+\lambda y=4$, dus $\lambda =\frac{4-2x}{y}$
2. $AP$: $\text{rc}=\frac{\lambda }{4}$ en door $A$: $y=\frac{1}{4}\lambda x+\frac{1}{2}\lambda$, dus $\lambda =\frac{y}{\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}}$
3. Gelijkstellen: $y^2=(4-2x)(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2})=2-\frac{1}{2}{x}^2$
4. $K:x^2+2y^2=4$, een ellips

Controle: met $\lambda =3$ geeft snijden van $p$ en $AP$ een punt dat aan $x^2+2y^2=4$ voldoet ✓

Valkuilen

• $\lambda$ maar uit één vergelijking vrijmaken en dan invullen in een ingewikkelde vorm. Gelijkstellen is sneller.
• Een onhandige parametrisatie kiezen, zodat je met breuken als $\frac{1}{4}{\lambda }^2$ blijft rekenen.
• Vergeten dat de rc van de loodlijn $-\frac{1}{\text{rc}}$ is.
• Punten vergeten uit te sluiten waarvoor de constructie niet bestaat (zoals $x\ne 0$, $y\ne 0$ in gemengde opgave 11).

Test jezelf

Geef een parametrisatie zonder breuken van een punt op de lijn $2x-3y=8$.

Kies $y=2\lambda$: $2x=6\lambda +8$, dus $P(3\lambda +4,2\lambda )$.

$P$ ligt op $x+y=6$. De poollijn van $P$ ten opzichte van $x^2+y^2=12$ snijdt $OP$ in $S$. Welke kromme doorloopt $S$?

$P(\lambda ,6-\lambda )$, $p:\lambda x+(6-\lambda )y=12$ en $OP:\lambda y=(6-\lambda )x$. Elimineren geeft $x^2+y^2-2x-2y=0$: een cirkel.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 55 · uitwerking: loodlijn op de poollijn
• H13 opgave 56 · uitwerking: met het brandpunt van de parabool
• H13 opgave D59 · uitwerking: midden van de raakpunten
• H13 diagnostische toets 15 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 11 · uitwerking: twee poollijnen die samenvallen

Bronnen

• §13.4 opgave 53 en Theorie A: Variabele punten en kegelsneden (blz. 39)
• §13.4 Voorbeeld: $P(-4,\lambda )$ en de parabool $y^2=4x$ (blz. 40)
• Terugblik §13.4 (blz. 45)
• Diagnostische toets 14–15 (blz. 47)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Pool en poollijn
• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede
• Kegelsneden onderzoeken
• Parametervoorstelling

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)