Raaklijn en normaal aan een kegelsnede

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Staat in bijna elke grotere kegelsnede-opgave en is de basis voor Pool en poollijn. Typisch: “Stel een vergelijking op van de lijn k die de ellips raakt in A” of ”… die de hyperbool loodrecht snijdt in B”.

Wat moet je kunnen?

• De vergelijking van een kegelsnede naar $x$ differentiëren en $y^{\prime }(x)$ vrijmaken.
• De raaklijn in een punt $A$ van de kegelsnede opstellen.
• De normaal (de lijn die de kegelsnede loodrecht snijdt) in een punt opstellen.
• De raaklijn direct opschrijven met halfsubstitutie.

De kern

Methode 1: differentiëren naar $x$. Differentieer links en rechts. $y$ is een functie van $x$, dus met de kettingregel:

$(y^2{)}^{\prime }=2y\cdot y^{\prime }(x)(dy{)}^{\prime }=d\cdot y^{\prime }(x)((y+3{)}^2{)}^{\prime }=2(y+3)\cdot y^{\prime }(x)$

Maak $y^{\prime }(x)$ vrij en vul de coördinaten van het raakpunt in. Dat geeft ${\text{rc}}_k$.

Methode 2: halfsubstitutie. De lijn die $a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+e=0$ raakt in $A(x_A,y_A)$ is

$k:a{x}_{A}x+b{y}_{A}y+\frac{1}{2}c{x}_A+\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}d{y}_A+\frac{1}{2}dy+e=0$

Dus: vervang in $x^2=x\cdot x$ één $x$ door $x_A$, en splits $cx$ in $\frac{1}{2}c{x}_A+\frac{1}{2}cx$. Hetzelfde voor $y$. Het boek geeft deze formule voor de uitgewerkte vorm, dus werk haakjes eerst uit (zo doet de uitwerking van diagnostische toets 11a het ook).

Normaal. De normaal $n$ in een punt staat loodrecht op de raaklijn $k$:

${\text{rc}}_n\cdot {\text{rc}}_k=-1$

Situatie	Gevolg
noemer van $y^{\prime }(x)$ is 0 in $A$	raaklijn verticaal, normaal horizontaal
teller van $y^{\prime }(x)$ is 0 in $A$	raaklijn horizontaal, normaal verticaal

Zo wordt het gevraagd

• “Stel een vergelijking op van de lijn k die c raakt in het punt A(1, −2)” (opgave 41–43, diagnostische toets 10a en 11a).
• ”… de lijn n die de ellips loodrecht snijdt in het punt B(−6, 4)”: dit is de normaal (opgave 41b–43d, diagnostische toets 11b).
• “Toon aan dat l ⊥ m”: twee raaklijnen, laat zien dat ${\text{rc}}_l\cdot {\text{rc}}_m=-1$ (gemengde opgave 5b).
• Antwoord in de vorm van het boek: $y=2x-14$ ofwel $2x-y=14$.

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn aan een ellips, op twee manieren (vergelijk H13 opgave 42a)

Stel een vergelijking op van de lijn $k$ die de ellips $(x-1{)}^2+2(y+3{)}^2=18$ raakt in $A(5,-4)$.

Differentiëren:

1. $2(x-1)+4(y+3)\cdot y^{\prime }(x)=0$, dus $y^{\prime }(x)=\frac{-(x-1)}{2(y+3)}$
2. In $A$: ${\text{rc}}_k=\frac{-4}{2\cdot -1}=2$
3. $y=2x+b$ door $A(5,-4)$: $10+b=-4$, dus $b=-14$
4. $k:y=2x-14$ ofwel $2x-y=14$

Halfsubstitutie:

1. Uitwerken: $x^2+2y^2-2x+12y+1=0$
2. $5x+2\cdot -4\cdot y-(5+x)+6(-4+y)+1=0$
3. $4x-2y-28=0$, dus ook $2x-y=14$

Controle: $y=2x-14$ invullen in de ellips geeft een vergelijking met discriminant 0 (één snijpunt) ✓

Normaal van een hyperbool (vergelijk H13 opgave A43d)

Stel een vergelijking op van de lijn $n$ die de hyperbool $4x^2-y^2+8x+4y-15=0$ loodrecht snijdt in $B(1,3)$.

1. Controleer dat $B$ erop ligt: $4-9+8+12-15=0$ ✓
2. $8x-2y\cdot y^{\prime }(x)+8+4\cdot y^{\prime }(x)=0$, dus $y^{\prime }(x)=\frac{-8x-8}{-2y+4}=\frac{-4x-4}{-y+2}$
3. In $B$: ${\text{rc}}_l=\frac{-8}{-1}=8$ voor de raaklijn $l$, dus ${\text{rc}}_n=-\frac{1}{8}$
4. $y=-\frac{1}{8}x+b$ door $B(1,3)$: $b=3\frac{1}{8}$
5. $n:y=-\frac{1}{8}x+3\frac{1}{8}$ ofwel $x+8y=25$

Valkuilen

• De factor $y^{\prime }(x)$ vergeten bij de lineaire $y$-term: $(4y{)}^{\prime }=4y^{\prime }(x)$, niet $4$.
• De formule van het boek invullen in een vergelijking met haakjes, zoals $(x-1{)}^2+2(y+3{)}^2=18$, zonder eerst uit te werken. Dan kloppen $a$ t/m $e$ niet.
• Bij halfsubstitutie één van de twee helften vergeten: $cx$ wordt $\frac{1}{2}c{x}_A+\frac{1}{2}cx$.
• “Loodrecht snijdt” lezen als raaklijn. Het is de normaal.
• Een punt gebruiken dat niet op de kegelsnede ligt. Controleer dat eerst. Ligt het erbuiten, gebruik dan de poollijn.

Test jezelf

Geef de raaklijn aan de ellips $x^2+4y^2=8$ in $(2,1)$.

Halfsubstitutie: $2x+4\cdot 1\cdot y=8$, dus $x+2y=4$.

Geef de raaklijn aan de parabool $y^2=8x$ in $(2,4)$.

$y^2-8x=0$ geeft $4y-4\cdot 2-4x=0$, dus $y=x+2$.

Stel de normaal op van $x^2-y^2=16$ in $(5,3)$.

$2x-2y\cdot y^{\prime }(x)=0$, dus $y^{\prime }(x)=\frac{x}{y}$ en ${\text{rc}}_k=\frac{5}{3}$. Dan ${\text{rc}}_n=-\frac{3}{5}$: $y-3=-\frac{3}{5}(x-5)$, ofwel $3x+5y=30$.

In welke punten heeft de ellips $(x-1{)}^2+2(y+3{)}^2=18$ een verticale raaklijn?

De noemer $2(y+3)$ van $y^{\prime }(x)$ is 0 bij $y=-3$. Dan $(x-1{)}^2=18$, dus $x=1\pm 3\sqrt{2}$: de linker- en rechtertop.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 41 · uitwerking: raaklijn en normaal aan een cirkel (41b staat op de volgende pagina)
• H13 opgave 42b · uitwerking: normaal van een ellips
• H13 opgave A43c · uitwerking: raaklijn aan een hyperbool
• H13 diagnostische toets 10a en 11 · uitwerking: met halfsubstitutie
• Gemengde opgave 5b · uitwerking: aantonen dat twee raaklijnen loodrecht staan

Bronnen

• Voorkennis Theorie C: Cirkels in een assenstelsel (blz. 13): raaklijn aan een cirkel
• §13.3 opgave 40 en Theorie A: Raaklijn en normaal bij kegelsneden (blz. 32)
• §13.3 Voorbeeld: parabool $(y-2{)}^2=-8(x+3)$ (blz. 33)
• §13.3 opgave 44 en Theorie B: halfsubstitutie (blz. 34)
• §13.3 opgave 45: afleiding halfsubstitutie (blz. 36)
• Terugblik §13.3: Vergelijkingen van raaklijnen (blz. 38)
• Diagnostische toets 10–11 (blz. 47)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Raaklijn aan een cirkel
• Kettingregel
• Raaklijn
• Vergelijking van een parabool
• Vergelijking van een ellips
• Vergelijking van een hyperbool

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Pool en poollijn