Kegelsneden onderzoeken

Prioriteit: 🔴 Hoog

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 13. Combineert parabool, ellips en hyperbool in één opdracht: “Onderzoek de kegelsnede.” Je moet dan zelf zien wat het is en alle kenmerken geven.

Wat moet je kunnen?

• Aan de vergelijking zien of het een cirkel, ellips, parabool of hyperbool is.
• De vergelijking met kwadraatafsplitsen in standaardvorm brengen.
• Bij “onderzoek” alle kenmerken geven: middelpunt of top, toppen, brandpunten, en bij een hyperbool de asymptoten.
• Bij een parameter bepalen voor welke waarden het een bepaalde kegelsnede is.

De kern

De algemene vergelijking van de tweede graad is $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$. In H13 ontbreekt de $xy$-term altijd ($b=0$), zodat de symmetrieassen evenwijdig zijn aan de assen.

Kwadraattermen	Kegelsnede
alleen $y^2$ plus een term met $x$ (of alleen $x^2$ plus een term met $y$)	parabool
$x^2$ en $y^2$ met gelijke coëfficiënt	cirkel
$x^2$ en $y^2$, zelfde teken, verschillende coëfficiënt	ellips
$x^2$ en $y^2$ met tegengesteld teken	hyperbool

Stappenplan “onderzoek de kegelsnede”

1. Zet de $x$-termen en de $y$-termen bij elkaar en haal de coëfficiënt van het kwadraat buiten haakjes.
2. Splits per variabele het kwadraat af en vermenigvuldig de losse term met die coëfficiënt.
3. Breng naar standaardvorm: $\frac{(x-m{)}^2}{a^2}\pm \frac{(y-n{)}^2}{b^2}=\pm 1$, of $(y-n{)}^2=2p(x-m)$.
4. Bereken toppen, brandpunten en asymptoten van de onverschoven kegelsnede.
5. Tel de translatie $(m,n)$ erbij op.

Ontaarde gevallen. Na afsplitsen moet de rechterkant kloppen. $(x+1{)}^2+2y^2=-2$ heeft geen oplossingen, $(x+1{)}^2+2y^2=0$ is één punt, en $x^2-y^2=0$ zijn twee lijnen. Staat er alleen $y^2$ en geen $x$, zoals $-y^2+6y=0$, dan krijg je twee horizontale lijnen ($y=0$ en $y=6$) of niets. Zulke gevallen komen terug bij parameteropgaven (gemengde opgave 8).

Zo wordt het gevraagd

• “Onderzoek de kegelsnede. a $y^2-6x+8y+28=0$ b $x^2+9y^2+2x-8=0$ c $x^2-9y^2+4x-5=0$” (opgave 38, A39, diagnostische toets 9).
• “Deze vergelijkingen horen bij een cirkel, een parabool, een ellips en een hyperbool. Zoek de juiste vergelijking bij elk van deze krommen.” (opgave 37).
• “Voor welke waarden van a en b is dit de vergelijking van een cirkel / een parabool?” (gemengde opgave 8).

Uitgewerkt voorbeeld

Een ellips (vergelijk H13 opgave A39b)

Onderzoek de kegelsnede $4x^2+y^2-8x+8y+16=0$.

1. $4(x^2-2x)+(y^2+8y)+16=0$
2. $4((x-1{)}^2-1)+(y+4{)}^2-16+16=0$, dus $4(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=4$
3. $(x-1{)}^2+\frac{(y+4{)}^2}{4}=1$: ellips met middelpunt $(1,-4)$, $a=1$, $b=2$, staand
4. Toppen $(0,-4)$, $(2,-4)$, $(1,-6)$ en $(1,-2)$
5. $c^2=b^2-a^2=4-1=3$: brandpunten $\left(1,-4-\sqrt{3}\right)$ en $\left(1,-4+\sqrt{3}\right)$

Controle: $(1,-2)$ invullen in de oorspronkelijke vergelijking geeft $4+4-8-16+16=0$ ✓

Een hyperbool (vergelijk H13 diagnostische toets 9c)

Onderzoek de kegelsnede $16x^2-9y^2+32x-128=0$.

1. $16((x+1{)}^2-1)-9y^2-128=0$, dus $16(x+1{)}^2-9y^2=144$
2. $\frac{(x+1{)}^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$: hyperbool met middelpunt $(-1,0)$, $a=3$, $b=4$
3. Toppen $(-4,0)$ en $(2,0)$
4. $c^2=9+16=25$: brandpunten $(-6,0)$ en $(4,0)$
5. Asymptoten $y=\pm \frac{4}{3}(x+1)$, dus $y=1\frac{1}{3}x+1\frac{1}{3}$ en $y=-1\frac{1}{3}x-1\frac{1}{3}$

Valkuilen

• Bij afsplitsen de losse term niet met de coëfficiënt vermenigvuldigen: $4((x-1{)}^2-1)$ geeft $-4$.
• Bij een min voor de $y$-termen: $-(y^2-8y)=-((y-4{)}^2-16)$ geeft $+16$.
• Een cirkel een ellips noemen (of andersom). Kijk of de coëfficiënten van $x^2$ en $y^2$ gelijk zijn.
• Bij een hyperbool met rechterkant negatief ($7x^2-2y^2=-14$) liggen de toppen op de verticale as.
• Bij “onderzoek” alleen de soort noemen. Je moet alle kenmerken berekenen, en bij een hyperbool ook de asymptoten.

Test jezelf

Welke kegelsnede is $y^2-4x+2y=0$? Geef top en brandpunt.

Alleen $y^2$: parabool. $(y+1{)}^2=4x+1=4(x+\frac{1}{4})$. Top $(-\frac{1}{4},-1)$, $p=2$, brandpunt $(\frac{3}{4},-1)$.

Onderzoek $x^2-4y^2-2x-3=0$.

$(x-1{)}^2-4y^2=4$, dus $\frac{(x-1{)}^2}{4}-y^2=1$: hyperbool met middelpunt $(1,0)$, toppen $(-1,0)$ en $(3,0)$. $c^2=4+1=5$: brandpunten $(1\pm \sqrt{5},0)$. Asymptoten $y=\pm \frac{1}{2}(x-1)$.

Welke punten voldoen aan $x^2+2y^2+2x+3=0$?

$(x+1{)}^2+2y^2=-2$. De linkerkant is nooit negatief, dus geen enkel punt.

Hoe zie je direct dat $3x^2+y^2-6x+2y-8=0$ een ellips is? Klopt de rechterkant ook?

Zowel $x^2$ als $y^2$, met hetzelfde teken maar verschillende coëfficiënten (3 en 1). Afsplitsen geeft $3(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=12$, en $12>0$, dus het is echt een ellips.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H13 opgave 37 · uitwerking: soort herkennen
• H13 opgave 38 · uitwerking: parabool, ellips en hyperbool onderzoeken
• H13 opgave A39a en c · uitwerking: cirkel en orthogonale hyperbool
• H13 diagnostische toets 9a, b en d · uitwerking: toetsniveau (9d staat op de volgende pagina)
• Gemengde opgave 8 · uitwerking: parameter, met een ontaard geval

Bronnen

• §13.2 Theorie F: Kegelsneden onderzoeken, met Voorbeeld (blz. 29)
• Informatief: Kegelsneden roteren (blz. 30): vergelijkingen met een $xy$-term
• Terugblik §13.2: De algemene vergelijking (blz. 31)
• Diagnostische toets 9 (blz. 47)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een parabool
• Vergelijking van een ellips
• Vergelijking van een hyperbool
• Vergelijking van een cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijn en normaal aan een kegelsnede