Deeltje in een put

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 6 van de 8 onderzochte examenjaren, bijna altijd als rekenvraag met een kleurstofmolecuul: absorptiegolflengte of putlengte uit $E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$ (3–5p).

Wat moet je kunnen?

• Met $E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$ een energieniveau of een energieverschil berekenen.
• De golflengte van een geabsorbeerd foton berekenen uit een overgang, of de putlengte $L$ uit een gemeten golflengte.
• De golffunctie in een put schetsen met knopen en buiken, en uitleggen wat $|\psi {|}^2$ betekent.

De kern

$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}\Delta E=E_{n+1}-E_n=\frac{(2n+1)h^2}{8m{L}^2}\Delta E=\frac{hc}{\lambda }$

Begrip	Betekenis
$n$	kwantumgetal: $n$ buiken in de golffunctie, $\ell =n\cdot \frac{1}{2}\lambda$
grondtoestand	$n=1$, energie is niet nul (nulpuntsenergie)
$|\psi {|}^2$	maat voor de kans om het deeltje op die plek aan te treffen
eindige put	golffunctie loopt exponentieel afnemend door in de wand (zie Tunneleffect)

• Kleinere $L$: grotere energieverschillen, dus kortere golflengte.
• In een molecuul met $N$ elektronen zitten twee elektronen per niveau; de kleinste absorptie is van het hoogste bezette naar het laagste lege niveau.
• Waterstof is een ander model: $E_n=-\frac{13,6}{n^2}$ eV (zie Energieniveaus en spectraallijnen).

Zo wordt het gevraagd

• Maximale absorptiegolflengte van lycopeen berekenen met het model van de eendimensionale energieput (2025-1 vraag 17, 5p).
• Effectieve putlengte groter of kleiner dan $L$ afleiden uit het verschil tussen berekende en gemeten golflengte (2025-1 vraag 18).
• Rhodamine-6G, overgang $n=11\to n=12$ (2018-2 vraag 13, 4p).
• Kleinste energieopname vanuit de grondtoestand van een pigmentmolecuul (2026-1 vraag 16, 4p).

Uitgewerkt voorbeeld

Elektron in een put van 1,0 nm

Bereken de golflengte van de overgang $n=1\to n=2$.

1. $E_1=\frac{h^2}{8m{L}^2}=\frac{(6,626\cdot 10^{-34}{)}^2}{8\times 9,109\cdot 10^{-31}\times (1,0\cdot 10^{-9}{)}^2}=6,02\cdot 10^{-20}$ J
2. $\Delta E=E_2-E_1=4E_1-E_1=3E_1=1,81\cdot 10^{-19}$ J
3. $\lambda =\frac{hc}{\Delta E}=$ $1,1\cdot 10^{-6}$ m (infrarood)

Putlengte uit een golflengte (examenstijl, vergelijk 2018-2 vraag 13–14)

Een kleurstof absorbeert bij 530 nm door de overgang $n=11\to n=12$.

1. $\Delta E=\frac{(144-121)h^2}{8m{L}^2}=\frac{23h^2}{8m{L}^2}=\frac{hc}{\lambda }$
2. $L=\sqrt{\frac{23h\lambda }{8mc}}=$ $1,9\cdot 10^{-9}$ m

Valkuilen

• $n^2$ vergeten, of $\Delta E=E_n$ nemen in plaats van het verschil.
• De massa van een proton gebruiken in plaats van die van een elektron.
• nm niet omrekenen naar m, of $L^2$ vergeten te kwadrateren.
• Denken dat de grondtoestand energie 0 heeft.

Test jezelf

De put wordt 2 keer zo lang. Wat gebeurt er met $E_1$?

$E\propto \frac{1}{L^2}$: $E_1$ wordt 4 keer zo klein.

Hoeveel buiken heeft de golffunctie bij $n=3$ en waar is de kans het kleinst?

3 buiken; de kans is nul in de knopen (bij de wanden en op $\frac{1}{3}L$ en $\frac{2}{3}L$).

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 17–18: lycopeen en effectieve putlengte (5p + 2p)
• 2018 tijdvak 2, vraag 13–14: Rhodamine-6G (4p + 3p)
• 2021 tijdvak 3, vraag 22–24: golflengte, ketenlengte en UV-absorptie (3p + 4p + 3p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 16: pigmentmolecuul (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 6 van de 8 onderzochte examenjaren (2018-2026, 2020: geen examen gehouden) — 75%.

• 2026 tijdvak 1: vraag 16
• 2025 tijdvak 1: vraag 17, 18
• 2023 tijdvak 1: vraag 24, 25
• 2022 tijdvak 1: vraag 9
• 2021 tijdvak 3: vraag 22, 23, 24
• 2018 tijdvak 2: vraag 13, 14

---

Ondersteunende onderwerpen

• Energieniveaus en spectraallijnen
• Elektronvolt
• De Broglie-golflengte

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Tunneleffect