Raaklijn

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 keer per tijdvak: raaklijn in een punt, loodrechte of evenwijdige raaklijnen, raken van twee grafieken (4–6p).

Wat moet je kunnen?

• De raaklijnvergelijking in een gegeven punt opstellen.
• Het raakpunt vinden bij een gegeven helling (evenwijdig aan een lijn, loodrecht op een raaklijn).
• Een raaklijn door een punt buiten de grafiek vinden.
• De raakvoorwaarde voor twee grafieken toepassen.

De kern

$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

Situatie	Voorwaarde
raaklijn in $x=a$	rc $=f^{\prime }(a)$, door $(a,f(a))$
evenwijdig aan $y=mx+c$	$f^{\prime }(a)=m$
loodrecht op lijn met rc $m$	$f^{\prime }(a)=-\frac{1}{m}$ (product $-1$)
raaklijn door punt $P$ buiten de grafiek	raaklijn in $a$ algemeen opstellen, $P$ invullen, $a$ oplossen
grafieken $f$ en $g$ raken in $x=a$	$f(a)=g(a)$ én $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$

• Bij een baan $(x(t),y(t))$: rc $=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$ (zie Kinematica met vectoren).

Zo wordt het gevraagd

• “De lijn k raakt de grafiek van f in P. De lijn m staat loodrecht op lijn k en raakt de grafiek van f in het punt Q.” (2026-1 vraag 3, 6p).
• ”… raakt de grafiek van $h_q$ de grafiek van $f$ links van de y-as”: raakvoorwaarde (2025-1 vraag 18).
• “De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in punt C.” (2025-2 vraag 8).
• Punt waar de helling gelijk is aan de helling van lijnstuk $AB$ (2026-2 vraag 12).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn in een punt (examenstijl, vergelijk 2025-2 vraag 8)

$f(x)=\ln (3x)$. Stel de raaklijn op in $x=1$.

1. $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$, dus rc $=f^{\prime }(1)=1$
2. Punt: $(1,\ln 3)$
3. $y=1\cdot (x-1)+\ln 3$, dus $y=x-1+\ln 3$

Raaklijn door een punt buiten de grafiek

$f(x)=x^2$. Welke raaklijnen gaan door $(0,-4)$?

1. Raaklijn in $x=a$: $y=2a(x-a)+a^2$
2. Door $(0,-4)$: $-4=-2a^2+a^2=-a^2\Rightarrow a=2$ of $a=-2$
3. Raaklijnen: $y=4x-4$ en $y=-4x-4$.

Valkuilen

• $f(a)$ invullen als rc, of $f^{\prime }(a)$ als $y$-waarde.
• Bij een punt buiten de grafiek dat punt als raakpunt gebruiken.
• Bij “raken” alleen $f(a)=g(a)$ controleren.
• Loodrecht als “tegengestelde rc” nemen in plaats van $-\frac{1}{m}$.

Test jezelf

$f(x)=x^2$. In welk punt is de raaklijn evenwijdig aan $y=3x$?

$2a=3\Rightarrow a=1,5$: punt $(1,5;2,25)$.

Een raaklijn heeft rc 2. Welke rc heeft een lijn die er loodrecht op staat?

$-\frac{1}{2}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 3: loodrechte raaklijnen (6p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 18: raakvoorwaarde tussen twee grafieken (6p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 8: raaklijn in B snijdt de $y$-as (4p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 2 en 9: raaklijn $k$ bepaalt P, raaklijn snijdt de $x$-as (5p + 6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De lijn k raakt de grafiek van f in P. De lijn m staat loodrecht op lijn k en raakt de grafiek van f in het punt Q.” Loodrechte raaklijnen: product van richtingscoëfficiënten is −1 (f’(2)=½ ⇒ richtingscoëfficiënt van m is −2, in correctievoorschrift genoteerd als ½ voor m… zie exacte stap: rc van m is ½ maal −1 herleid).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p) — vrijwel identiek vraagtype als “raaklijn met twee cirkels”/“twee grafieken raken” uit voorgaande tijdvakken, nu met loodrecht-op-elkaar-staande raaklijnen aan dezelfde grafiek.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de baan in het zelfsnijpunt.
  • Vraag 12 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, punt waar de helling van de grafiek van f gelijk is aan de helling van lijnstuk AB.
  • Komt 2× voor (9 scorepunten samen betrokken), in v9 als alternatieve route, in v12 als kernonderdeel.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — “In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.” Kernonderdeel (verticale raaklijn ⇒ x’(t)=0).
  • Vraag 18 (6p): in vraagstelling — “raakt de grafiek van hq de grafiek van f links van de y-as.” Kernonderdeel, raakvoorwaarde tussen twee grafieken (gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
  • Frasering: “raakt … verticaal” / “raakt de grafiek van … de grafiek van …”. Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (12 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in punt C.” Gebruikt om te bewijzen dat AC=1 voor elke a.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel (4 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 6 (6p): in vraagstelling — “De helling van de raaklijn in A aan de grafiek van g is −6.”
  • Vraag 10 (6p): in vraagstelling — “de raaklijn aan de baan in punt P.”
  • Komt 2× voor.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “Lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt P rechts van de y-as.” Kernvoorwaarde om P te vinden (f’(x)=richtingscoëfficiënt van k).
  • Vraag 9 (6p): in vraagstelling — “De raaklijn aan de grafiek van f in punt S snijdt de x-as in het punt…” Kernonderdeel, raaklijn gebruikt om b te bepalen.
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — “Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van a door de oorsprong gaat.” Kernonderdeel, volledige vraag.
  • Komt 3× voor, telkens een centraal element van de opgave (16 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 13 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijnen aan de grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in het snijpunt. Bewijs dit.” Raaklijnvergelijkingen via f’(x) en g’(x) in het snijpunt.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “de lijn y = x [is] de gemeenschappelijke raaklijn … van de grafieken van fp en gp.” Kernonderdeel.
  • Vraag 4 (3p): in vraagstelling — “de richting van de raaklijn in A”, “de raaklijn in B [is] horizontaal” — vergelijkingen van twee raaklijnen bepalen hun snijpunt C.
  • Vraag 8 (8p): in vraagstelling — “Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken” (raken = gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
  • Vraag 11 (7p): in vraagstelling — raaklijn k in de oorsprong, verschoven over een vector, moet weer een raaklijn aan de grafiek zijn.
  • Vraag 15 (8p): in vraagstelling — raaklijn aan de grafiek van f in willekeurig punt P, snijdt de verticale en de scheve asymptoot in Q en R.
  • Frasering: “raaklijn”, “raken elkaar”. Zeer dominant: 5 van de 17 vragen (30 scorepunten), kernbegrip van dit tijdvak.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt. Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van k.” Buigraaklijn (raaklijn in het buigpunt) is zelfs de titel van de opgave.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 3 (5p): in vraagstelling — “Zowel aan het deel van de grafiek links van A als aan het deel van de grafiek rechts van A is er een raaklijn in A.” Kernonderdeel, hoek tussen twee raaklijnen berekenen.
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — “de halve lijn vanuit M door A de parabool loodrecht snijdt in punt A”, richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A bepalen.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): in vraagstelling — “De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong.” Uitgangspunt van de hele opgave.
  • Vraag 4 (4p): in vraagstelling — “De grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat ⅓π. Bewijs dat … de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.” Kernonderdeel: raakvoorwaarde tussen twee grafieken (gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
  • Frasering: “de raaklijn aan de grafiek van f” / “raakt de grafiek van … de grafiek van …”. Komt 2× voor (12 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1-2 (3p elk): in vraagstelling — raaklijn aan kromme K in het punt (x(t),y(t)), en de vergelijking ervan.
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling — lijn l is “de raaklijn aan de grafiek van f_p in het punt A”.
  • Vraag 14 (7p): in vraagstelling — “De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P snijdt de x-as in een punt S.”
  • Frasering: “de raaklijn aan … in het punt …”. Komt 4× voor (21 scorepunten samen betrokken), dominant thema.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — “We bekijken de raaklijn aan de grafiek van f in A en de raaklijn aan de grafiek van g in B… de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.” Loodrechte raaklijnen ⇒ product van richtingscoëfficiënten (afgeleiden) is −1.
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — “een punt P waarin de raaklijn aan de grafiek van f horizontaal is” / “een punt Q waarin de raaklijn aan de grafiek van f_inv verticaal is.” Kernonderdeel, horizontale/verticale raaklijn als voorwaarde voor extreme punten.
  • Frasering: “de raaklijn aan de grafiek van … is horizontaal/verticaal”, “de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.” Komt 2× voor (12 scorepunten samen), telkens als kernvoorwaarde van de vraag.
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 3 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Lijn k raakt de grafiek van f_p voor elke waarde van p≥1. Bewijs dit.” Raakvoorwaarde via f_p’(x)=1 (richtingscoëfficiënt van k) en controle dat het raakpunt op k ligt.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p), zwaar (bewijsvraag).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de lijn l is de raaklijn in A aan het linkerdeel van de grafiek.”
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 11 (8p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P(p, p²) (…) snijdt de x-as in een punt A.” Raaklijnvergelijking y=2p(x−p)+p² opgesteld via f’(x)=2x.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de zwaarste vraag van dit tijdvak.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Afgeleide functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bewijzen met differentiëren