Differentiaalvergelijkingen en lijnelementenveld

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Stel de formule op van de lijn k die de oplossingskromme door A raakt”, “Stel een vergelijking op van de kromme die door de toppen gaat”, “Voor welke waarden van y(0) hebben de oplossingskrommen een horizontale asymptoot?” (diagnostische toets 3–4). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• In een punt de richtingscoëfficiënt ${\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]}_A$ berekenen en een raaklijn aan de oplossingskromme opstellen.
• In een lijnelementenveld oplossingskrommen schetsen.
• De punten vinden waar $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$ (toppen), $>0$ of $<0$.
• Het raakpunt berekenen als een gegeven lijn een oplossingskromme raakt.
• Bij $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(y)$ een tekenoverzicht maken en horizontale asymptoten aflezen, ook met een parameter $p$.

De kern

Een formule die het verband geeft tussen $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ en $t$ en/of $y$ is een differentiaalvergelijking van de eerste orde.

• Bij elk punt $A(t,y)$ hoort de richtingscoëfficiënt ${\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]}_A$. Een lijnstukje door $A$ met die rc is een lijnelement, en een tekening met veel lijnelementen een lijnelementenveld.
• Een grafiek die in elk punt dezelfde helling heeft als het lijnelement daar, is een oplossingskromme. De formule erbij is een oplossing van de differentiaalvergelijking: oplossingen zijn functies, geen getallen.
• Door elk punt van het vlak gaat precies één oplossingskromme, dus oplossingskrommen snijden elkaar niet.

Raaklijn in $A$. $k:y=at+b$ met $a={\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]}_A$; $b$ volgt uit de coördinaten van $A$.

Raakpunt met een gegeven lijn $y=mt+n$: in het raakpunt geldt $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=m$ en $y=mt+n$. Los dat stelsel op.

Toppen. Toppen van oplossingskrommen liggen waar $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$. Schrijf dat als vergelijking in $t$ en $y$: dat is de kromme door de toppen.

Tekenoverzicht bij $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(y)$. Alle lijnelementen op dezelfde horizontale lijn zijn evenwijdig.

1. Bereken de nulpunten van $f$. Is $f(y_0)=0$, dan is de lijn $y=y_0$ zelf een oplossingskromme.
2. Onderzoek (met een schets van $f$) waar $f(y)>0$ en $f(y)<0$, en zet plus- en mintekens in het $Oty$-vlak.
3. Plus: oplossingskrommen stijgen; min: ze dalen. Een oplossingskromme kan een lijn $y=y_0$ niet snijden, dus nadert hem als horizontale asymptoot.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel de formule op van de lijn k die de oplossingskromme door A(−1, −2) in dit punt raakt.” (diagnostische toets 3b).
• “De lijn l: y = −t + 5 raakt een oplossingskromme in het punt B. Bereken algebraïsch de coördinaten van B.” (diagnostische toets 3c).
• “Stel een vergelijking op van de kromme die door de toppen van de oplossingskrommen gaat.” (diagnostische toets 3d).
• “Voor welke waarden van p zijn alle oplossingskrommen dalend?”, “Onderzoek of er een waarde van p bestaat zo, dat de lijn y = −1 een horizontale asymptoot van oplossingskrommen is.” (diagnostische toets 4).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn, raakpunt en toppen (vergelijk H15 diagnostische toets 3)

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=t-2y$.

b Raaklijn $k$ aan de oplossingskromme door $A(-1,-2)$:

1. $a={\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]}_A=-1-2\cdot -2=3$
2. $y=3t+b$ door $(-1,-2)$: $-3+b=-2$, dus $b=1$. $k:y=3t+1$

c De lijn $l:y=-t+5$ raakt een oplossingskromme in $B$:

1. In $B$ is $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-1$, dus $t-2y=-1$, ofwel $t=2y-1$.
2. Invullen in $y=-t+5$: $y=-(2y-1)+5$, dus $3y=6$ en $y=2$, $t=3$. $B(3,2)$

d Kromme door de toppen: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$ geeft $t-2y=0$, dus $y=\frac{1}{2}t$.

Controle met sympy (algemene oplossing $y=C{e}^{-2t}+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}$): de toppen liggen op $y=\frac{1}{2}t$ ✓

Tekenoverzicht met parameter (vergelijk H15 diagnostische toets 4)

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f_p(y)$ met $f_p(y)=-y^2-5y+p$, voor $t\ge 0$.

a $p=6$: $-y^2-5y+6=0$ geeft $(y-1)(y+6)=0$, dus $y=1\vee y=-6$. $f_6$ is een bergparabool: plus tussen $-6$ en $1$, min daarbuiten. De lijn $y=1$ is horizontale asymptoot van de oplossingskrommen met $-6<y(0)<1$ (stijgend) en $y(0)>1$ (dalend).

b Alle oplossingskrommen dalend: $f_p(y)<0$ voor elke $y$, dus de discriminant is negatief: $D=25+4p<0$, dus $p<-6\frac{1}{4}$.

c $y=-1$ asymptoot: $f_p(-1)=0$ geeft $-1+5+p=0$, dus $p=-4$. Dan is $f_{-4}(y)=-(y+1)(y+4)$: plus tussen $-4$ en $-1$, min daarbuiten. Dus $y=-1$ is horizontale asymptoot voor $-4<y(0)<-1$ en $y(0)>-1$.

d Een oplossingskromme raakt $l:y=3t+2$ in $A(-1,-1)$: ${\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right]}_A=-1+5+p=3$, dus $p=-1$.

Valkuilen

• Het teken van $f$ verkeerd aflezen door geen schets te maken van $f$ als functie van $y$.
• Bij een parameter alleen $f_p(y_0)=0$ controleren. Een lijn $y=y_0$ is pas een asymptoot als de krommen er aan minstens één kant naartoe lopen: controleer de tekens eromheen.
• Bij het raakpunt alleen $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=m$ gebruiken en vergeten dat het punt ook op de lijn ligt.
• Oplossingskrommen die elkaar snijden of een horizontale oplossing kruisen tekenen.
• $t$ en $y$ verwisselen: in het $Oty$-vlak staat $t$ horizontaal.

Test jezelf

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-y+t-3$. Bereken de rc in $(0,2)$ en $(4,1)$.

In $(0,2)$: $-2+0-3=-5$. In $(4,1)$: $-1+4-3=0$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y-2$. De lijn $y=3t-7$ raakt een oplossingskromme in $A$. Bereken $A$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3$ geeft $y=5$. $5=3t-7$ geeft $t=4$, dus $A(4,5)$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-y^2+4y+p$. Voor welke $p$ is $y=3$ horizontale asymptoot?

$-9+12+p=0$ geeft $p=-3$. Dan $-y^2+4y-3=-(y-1)(y-3)$: plus tussen 1 en 3, min erboven. Dus $y=3$ is asymptoot voor $1<y(0)<3$ en $y(0)>3$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave 16 · uitwerking: lijnelementenveld, raaklijn en raakpunt
• H15 opgave 18–A19 · uitwerking: toppen en scheve asymptoot
• H15 opgave O20 · uitwerking: tekenoverzicht
• H15 opgave 22–A25 · uitwerking: tekenoverzicht met parameter
• H15 diagnostische toets 3–4 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 25 · uitwerking: lijnelementenveld en een rechte oplossing

Bronnen

• §15.2 Theorie A: Lijnelementenveld en oplossingskrommen (blz. 117–118)
• §15.2 Voorbeeld: dy/dt = y − ½y² (blz. 118–119)
• §15.2 Theorie B: Tekenoverzicht bij differentiaalvergelijkingen (blz. 121)
• §15.2 Voorbeeld met parameter p (blz. 122)
• Terugblik §15.2 (blz. 124)
• Diagnostische toets 3–4 (blz. 150)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Dynamische modellen
• Raaklijn
• Vergelijking van een lijn

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Oplossingen van differentiaalvergelijkingen