Oplossingen van differentiaalvergelijkingen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Toon aan dat de differentiaalvergelijking een lineaire formule als oplossing heeft en geef deze formule” en “Toon met behulp van differentiëren naar t aan dat de cirkel … een oplossingskromme is” (diagnostische toets 5). Deze substitutietechniek komt ook terug in §15.4. Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Aantonen dat een gegeven functie een oplossing is: $y$ en $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ substitueren en laten zien dat het klopt voor elke $t$.
• Een lineaire oplossing $y=at+b$ vinden (ook als het lijnelementenveld een scheve asymptoot laat zien).
• Een oplossing met parameter $c$ zo kiezen dat de kromme door een punt gaat of de $t$-as raakt.
• Aantonen dat een cirkel een oplossingskromme is, met impliciet differentiëren.

De kern

Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een formule die bij substitutie in de differentiaalvergelijking een ware bewering oplevert.

“Ware bewering” betekent: de gelijkheid klopt voor elke waarde van $t$, niet alleen voor één $t$.

Lineaire oplossing zoeken

1. Stel $y=at+b$, dan is $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a$.
2. Substitueer beide en herleid tot de vorm $a=(\dots )t+(\dots )$.
3. Dit moet kloppen voor elke $t$: de coëfficiënt van $t$ is 0 en de constanten zijn gelijk. Los het stelsel op.

Staat er $t^2$ in de vergelijking, dan krijg je drie voorwaarden (voor $t^2$, $t$ en de constante). Er kunnen ook twee lineaire oplossingen zijn, bijvoorbeeld $y=t+2$ en $y=t-2$ in het Voorbeeld op blz. 126–127.

Cirkel als oplossingskromme. Differentieer de cirkelvergelijking naar $t$ (met $y$ als functie van $t$, dus kettingregel) en schrijf het resultaat als $y^{\prime }=\dots$. Komt dat overeen met de differentiaalvergelijking, dan is de cirkel een oplossingskromme.

Zo wordt het gevraagd

• “Toon aan dat de differentiaalvergelijking dy/dt = −2t + y − 1 een lineaire formule als oplossing heeft en geef deze formule.” (diagnostische toets 5a).
• “Toon met behulp van differentiëren naar t aan dat de cirkel met middelpunt M(−1, 3) door het punt P(2, 4) een oplossingskromme is van dy/dt = (1 + t)/(3 − y).” (diagnostische toets 5b).
• “Toon aan dat y(t) = 4/(1 + e⁻ᵗ) een oplossing is.” (opgave 30c), “Voor welke waarde van c raakt de grafiek van y de t-as?” (opgave 31c).
• “Zoek bij elke formule de juiste differentiaalvergelijking.” (opgave 28).

Uitgewerkt voorbeeld

Lineaire oplossing en cirkel (vergelijk H15 diagnostische toets 5)

a $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-2t+y-1$ heeft een lineaire oplossing.

1. Stel $y=at+b$, dan $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a$. Substitutie: $a=-2t+at+b-1$, dus $a=(a-2)t+b-1$.
2. Voor elke $t$: $a-2=0\wedge a=b-1$, dus $a=2$ en $b=3$.
3. De oplossing is $y=2t+3$.

b Cirkel met middelpunt $M(-1,3)$ door $P(2,4)$ en $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1+t}{3-y}$.

1. $(t+1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2$ door $(2,4)$: $r^2=9+1=10$.
2. Differentiëren naar $t$: $2(t+1)+2(y-3)\cdot y^{\prime }=0$
3. $y^{\prime }=\frac{-2(t+1)}{2(y-3)}=\frac{-t-1}{y-3}=\frac{1+t}{3-y}$

Dit is de differentiaalvergelijking, dus de cirkel is een oplossingskromme. Controle met sympy: beide substituties geven 0 ✓

De t-as raken (vergelijk H15 opgave 31)

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}t+y+1$ heeft de oplossingen $y=c\cdot e^t-\frac{1}{2}t-1\frac{1}{2}$. Voor welke $c$ raakt de grafiek de $t$-as?

1. Raken aan de $t$-as: $y=0$ en $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$.
2. $\frac{1}{2}t+0+1=0$ geeft $t=-2$.
3. $t=-2$, $y=0$ invullen: $c\cdot e^{-2}+1-1\frac{1}{2}=0$, dus $c=\frac{1}{2}{e}^2$.

Valkuilen

• Alleen voor één waarde van $t$ controleren. “Oplossing” betekent: klopt voor elke $t$.
• Bij $y=at+b$ vergeten dat $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a$ ook gesubstitueerd moet worden.
• Bij het impliciet differentiëren de factor $y^{\prime }$ vergeten bij $(y-3{)}^2$.
• Bij “raakt de $t$-as” alleen $y=0$ gebruiken en niet ook $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$.
• Oplossingen van een differentiaalvergelijking zijn functies, geen getallen.

Test jezelf

Toon aan dat $y=e^{2t}-\frac{1}{2}t+1\frac{1}{4}$ een oplossing is van $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2y+t-3$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2e^{2t}-\frac{1}{2}$. Rechts: $2(e^{2t}-\frac{1}{2}t+1\frac{1}{4})+t-3=2e^{2t}-t+2\frac{1}{2}+t-3=2e^{2t}-\frac{1}{2}$. Klopt voor elke $t$ ✓

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2y+t-3$ heeft een lineaire oplossing. Welke?

$a=2(at+b)+t-3=(2a+1)t+2b-3$, dus $2a+1=0$ en $a=2b-3$: $a=-\frac{1}{2}$, $b=1\frac{1}{4}$. $y=-\frac{1}{2}t+1\frac{1}{4}$.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}t+y+1$. Welke lineaire oplossing?

$a=\frac{1}{2}t+at+b+1=(\frac{1}{2}+a)t+b+1$, dus $a=-\frac{1}{2}$ en $b=-1\frac{1}{2}$: $y=-\frac{1}{2}t-1\frac{1}{2}$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O26–O27 · uitwerking: coëfficiënten gelijkstellen, lineaire oplossing
• H15 opgave 28–30 · uitwerking: oplossingen aantonen, twee lineaire oplossingen
• H15 opgave 31–A32 · uitwerking: $t$-as raken, cirkels als oplossingskromme
• H15 opgave A33 · uitwerking: afkoelen, formule aantonen
• H15 diagnostische toets 5 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 27 · uitwerking: raakpunt en cirkel

Bronnen

• §15.3 Theorie A: Oplossingen aantonen (blz. 125–126)
• §15.3 Voorbeeld: twee lineaire oplossingen (blz. 126–127)
• Terugblik §15.3 (blz. 132)
• Diagnostische toets 5 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Differentiaalvergelijkingen en lijnelementenveld
• Kettingregel
• Vergelijking van een cirkel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Scheiden van variabelen
• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde