Bewijzen met differentiëren

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal 1–2 volledige bewijsvragen per tijdvak (3–6p), waarbij alle punten afhangen van correcte differentieerstappen.

Wat moet je kunnen?

• $f^{\prime }(x)$ stapsgewijs afleiden en herleiden tot de gegeven vorm.
• Met het teken van $f^{\prime }$ bewijzen dat een grafiek stijgt of daalt.
• Bewijzen dat $F$ een primitieve is van $f$ door $F^{\prime }$ uit te rekenen.
• Loodrechte raaklijnen of raken bewijzen met afgeleiden.

De kern

Bewering	Aanpak
"$f^{\prime }(x)=\dots$"	differentieer, herleid tot precies die vorm
”de grafiek daalt voor $x>5$”	$f^{\prime }(x)<0$ voor $x>5$, met reden (kwadraat positief …)
”$F$ is een primitieve van $f$“	laat zien dat $F^{\prime }(x)=f(x)$
“de raaklijnen staan loodrecht"	$f^{\prime }(a)\cdot g^{\prime }(a)=-1$
"de grafieken raken elkaar in $x=a$”	$f(a)=g(a)$ én $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$

• Gebruik de juiste regels: Standaardafgeleiden, Productregel, Quotiëntregel, Kettingregel.
• Plots op de GR laten samenvallen is geen bewijs.

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.” via $f^{\prime }(1)=12>0$ (2024-1 vraag 1).
• “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is … voor elke waarde van a.” (2024-1 vraag 4).
• “Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x > 5 daalt.” (tekenonderzoek van $f^{\prime }$).
• Loodrechte raaklijnen via $f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(x)=-1$ (2023-1 vraag 13, 6p).
• “Bewijs dat dit juist is.” ($5{\cos }^{2}x-8\cos x-3=0$ voor de top, via de quotiëntregel, 2026-1 vraag 14).

Uitgewerkt voorbeeld

Dalend voor $x>5$

$f(x)=\frac{2x}{x-5}$. Bewijs dat de grafiek voor elke $x>5$ daalt.

1. Quotiëntregel: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-5)-2x\cdot 1}{(x-5{)}^2}=\frac{-10}{(x-5{)}^2}$
2. Voor $x>5$ is $(x-5{)}^2>0$, dus $f^{\prime }(x)<0$.
3. Dus de grafiek daalt voor elke $x>5$. ✓

Primitieve bewijzen (examenstijl, vergelijk 2023-1 vraag 18)

Bewijs dat $F(x)=x-\ln (e^x+1)$ een primitieve is van $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$.

1. $F^{\prime }(x)=1-\frac{e^x}{e^x+1}$ (kettingregel voor $\ln (e^x+1)$)
2. $=\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=\frac{1}{e^x+1}=f(x)$ ✓

Valkuilen

• Een tussenstap overslaan bij het herleiden.
• Bij “daalt” alleen één waarde van $f^{\prime }$ uitrekenen in plaats van het teken voor alle $x$ te beredeneren.
• Bij “raken” alleen $f(a)=g(a)$ controleren.
• De kettingregel vergeten: het correctievoorschrift kent dan vaak geen punten toe voor die stap.

Test jezelf

Wat moet je laten zien om te bewijzen dat twee grafieken elkaar raken in $x=a$?

$f(a)=g(a)$ én $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$.

$f^{\prime }(x)=\frac{3}{x^2+1}$. Bewijs dat $f$ overal stijgt.

$x^2+1>0$ voor alle $x$, dus $f^{\prime }(x)>0$: $f$ stijgt overal.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 14: top via de quotiëntregel naar $5{\cos }^{2}x-8\cos x-3=0$ (6p)
• 2023 tijdvak 1, vraag 13 en 18: loodrechte raaklijnen, primitieve bewijzen (6p + 3p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 1 en 4: stijgen in een punt, primitieve voor elke $a$ (3p + 3p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 1: buigpunten via $f^{\prime \prime }$ (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 14 (6p): kernonderdeel — bewijs dat 5cos²(x)−8cos(x)−3=0 voor de top van f, volledig via het afleiden van f (quotiëntregel) en f’(x)=0 stellen.
  • Komt 1× voor, zwaar (volledige 6p), vergelijkbaar met vraag 1 in 2025 tijdvak 1 maar nu met de quotiëntregel in plaats van de machtsregel.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — bewijs via f’(x)=4x³−60x, f”(x)=12x²−60, f”(x)=0. Frasering: “Bewijs dat…”. Alle 4 scorepunten hangen af van correcte differentiaalstappen.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, maar zwaar (volledige 4p).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — bewijs via differentiëren van xP(t) en yP(t) naar t (dx/dt=16t, dy/dt=−8t), gebruikt om de snelheid v(t) op te stellen en te vergelijken met die van Q.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige 4 scorepunten.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel. Frasering: “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.” Via f’(1) = 12 > 0.
  • Vraag 4 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is van y = teᵃᵗ voor elke waarde van a (met a ≠ 0).” Via differentiëren en vergelijken met de gegeven functie.
  • Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel van de vraag.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 11 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x>5 daalt” — exacte afleiding van f’(x) gevolgd door tekenonderzoek (10/(x−5)²>0 dus dalend), typerend voorbeeld van dit examentype.
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 13 (6p): kernonderdeel — bewijs via f’(x)=1/x, g’(x)=−e²/x, product f’(x)·g’(x) = −1 (loodrechte raaklijnen).
  • Vraag 18 (3p): kernonderdeel — bewijs dat F’(x) = f(x) via kettingregel op ln(eˣ+1).
  • Komt 2× voor, beide keren volledige bewijsvraag via de afgeleide (9 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — het bewijs van f’(x)=48x²−24x verloopt volledig via differentiëren (kettingregel + somregel), met een alternatieve route via eerst uitwerken van f(x) tot een polynoom en dan differentiëren.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift als alternatieve bewijsroute — F’(x) exact herleiden tot f(x).
  • Vraag 14 (4p): kernonderdeel — bewijs dat cos(a)=¼p in het hoogste punt, volledig via f_p’(a)=0 met kettingregel.
  • Vraag 16 (6p): kernonderdeel — bewijs a+r=½ via dy/dx=1/(2t) en de loodrecht-voorwaarde.
  • Komt 3× terug, telkens een volledige exacte afleiding met differentiatieregels zonder GR-opties.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 4 (4p): kernonderdeel — bewijs via f’(⅓π) = k’(⅓π) = 2 (afgeleiden gelijkstellen als raakvoorwaarde), naast f(⅓π) = k(⅓π).
  • Vraag 12 (5p): ondersteunend — f_p’(x) = 0 oplossen als stap in het bewijs dat toppen op een lijn liggen.
  • Komt 2× voor (4p kernonderdeel, 5p met differentiëren als route, niet als hele bewijs).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): kernonderdeel — bewijs dat de helling gelijk is aan sin(t)/cos(t), via x’(t) en y’(t).
  • Vraag 6 (4p): kernonderdeel — bewijs dat M het midden is van AB, met f_p’(2) als richtingscoëfficiënt van raaklijn l.
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — “Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand … groter wordt”, via A’(x) (of A”(x)) en tekenredenering.
  • Vraag 11 (6p): kernonderdeel — bewijs dat de hellingen van f in P en g in Q gelijk zijn, via f’(p) en g’(½p).
  • Frasering: “Bewijs met behulp van differentiëren dat…”. Komt 4× terug, samen 17 scorepunten — dominant bewijstype dit tijdvak.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): kernonderdeel — “Bewijs dat inderdaad geldt: f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x).” Afleiding via productregel en goniometrische identiteiten, alle 6 punten hangen af van correcte differentiaal-/herleidingsstappen.
  • Vraag 7 (5p): kernonderdeel — “Bewijs dit” voor dC/dT = b / (T·(T−1)·ln(T/(T−1))) (formule 2), differentiëren van een samengestelde logaritmische functie.
  • Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (11 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — “Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.” Bewijs dat top B rechts van punt A ligt, via f’(x)=0.
  • Vraag 3 (5p): kernonderdeel — bewijs dat lijn k de grafiek van f_p raakt voor elke p≥1, via f_p’(x)=1 (raakvoorwaarde).
  • Komt 2× voor, beide keren volledige/kernonderdeel van de vraag (10 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): kernonderdeel — “Bewijs dat deze top op lijn l ligt”, via f_a’(x)=0 oplossen en top-coördinaten invullen.
  • Vraag 4 (3p): kernonderdeel — “Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van f_a is”, via Fa’(x)=f_a(x) aantonen (met kettingregel en productregel, zie aanvulling op het correctievoorschrift die het hele model van deze vraag vervangt).
  • Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (7 scorepunten samen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Bewijzen en aantonen
• Afgeleide functie
• Standaardafgeleiden

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)