Productregel

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–2 keer per tijdvak als rekenstap. Het correctievoorschrift beperkt soms de punten als de productregel niet of fout is gebruikt.

Wat moet je kunnen?

• Een product herkennen en de productregel correct toepassen.
• De productregel combineren met de kettingregel en herleiden (factor buiten haakjes).
• Met de uitkomst een top of raakpunt vinden.

De kern

$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$

Functie	Afgeleide
$x^2\ln x$	$2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$
$x\sin x$	$\sin x+x\cos x$
$x{e}^x$	$(1+x)e^x$
$p^2{e}^{-2p}$	$2p{e}^{-2p}-2p^2{e}^{-2p}=2p(1-p)e^{-2p}$

• Niet: $f^{\prime }\cdot g^{\prime }$.
• Haal na afloop gemeenschappelijke factoren buiten haakjes; dat maakt $f^{\prime }(x)=0$ oplossen eenvoudig.
• Zie ook Kettingregel en Quotiëntregel.

Zo wordt het gevraagd

• $g^{\prime }(x)=x^2\cdot \frac{1}{x}+2x\ln x$ voor een top (2026-2 vraag 10, 7p).
• Afgeleide van $t{e}^{at}$ bij een primitievebewijs (2024-1 vraag 4).
• $dY/dL$ van $L^{0,7}(50-2,5L{)}^{0,3}$, product met kettingregel (2024-2 vraag 4).
• “Als … de productregel, quotiëntregel of kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag … maximaal 1 scorepunt worden toegekend.” (2023-2 vraag 12).

Uitgewerkt voorbeeld

Top van $x^2\ln x$ (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 10)

$g(x)=x^2\ln x$, $x>0$.

1. $g^{\prime }(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$
2. $g^{\prime }(x)=0$: $x=0$ valt af, dus $\ln x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=e^{-\frac{1}{2}}$
3. $g(e^{-\frac{1}{2}})=e^{-1}\cdot -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2e}$: minimum $\left(e^{-\frac{1}{2}},-\frac{1}{2e}\right)$.

Maximum van $p^2{e}^{-2p}$ (examenstijl, vergelijk 2022-3 vraag 7)

1. $R^{\prime }(p)=2p{e}^{-2p}+p^2\cdot -2e^{-2p}=2p(1-p)e^{-2p}$
2. $R^{\prime }(p)=0$ voor $p=0$ of $p=1$; bij $p=1$ gaat $R^{\prime }$ van $+$ naar $-$.
3. Maximum: $R(1)=e^{-2}$.

Valkuilen

• $f^{\prime }\cdot g^{\prime }$ uitrekenen.
• De kettingregel vergeten binnen een van de factoren (bijv. $e^{-2p}$).
• Niet buiten haakjes halen en daardoor $f^{\prime }(x)=0$ niet exact kunnen oplossen.

Test jezelf

Differentieer $f(x)=x{e}^{3x}$.

$f^{\prime }(x)=e^{3x}+3x{e}^{3x}=(1+3x)e^{3x}$.

Differentieer $f(x)=x^3\cos x$.

$f^{\prime }(x)=3x^2\cos x-x^3\sin x$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 10: product $x^2\ln x$, top bepalen (7p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 4: product met kettingregel in een productiemodel (5p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 12: $x\sqrt{x+3}$ met scoringsregel (5p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 3: product in een bewegingsvergelijking (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 10 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — g’(x) = x²·(1/x) + 2x·ln(x), differentiëren van het product x²·ln(x).
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 7 scorepunten).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) = cos(t)·(cos(t)+1) + sin(t)·(−sin(t)), differentiëren van een product van twee functies van t.
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 6 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van t·eᵃᵗ, product van twee functies van t.
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap binnen het bewijs.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dY/dL vereist het differentiëren van het product L^0,7·(50−2,5L)^0,3; expliciete opmerking in het correctievoorschrift: “Als in het eerste antwoordelement de productregel en/of de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend.”
  • Komt 1× voor, maar zwaar/expliciet vereist (2 van de 5 scorepunten).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = −3+x·√(x+3) (voor x≤0, met |x|=−x herschreven), f’(x) = −√(x+3) − x/(2√(x+3)), differentiëren van een product van twee factoren.
  • Opmerking: “Als in het tweede antwoordelement de productregel, quotiëntregel of kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag … maximaal 1 scorepunt worden toegekend.”
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap binnen vraag 12.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — genoemd in de opmerking over ketting-, product- of quotiëntregel bij het differentiëren van R(p) = p²·e^(−2p) (productvorm).
  • Komt 1× voor, als (een van de) toegestane differentiatieroute(s), geen losse scorepunten specifiek voor de regel zelf.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f”(x) berekenen als afgeleide van het product (1/x²)·e^(1/x) (combinatie van kettingregel en productregel).
  • Komt 1× voor, in de alternatieve oplosroute.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = cos(x)·cos(2x) + sin(x)·(−2sin(2x)) als eerste stap in het bewijs van f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x); differentiëren van het product sin(x)·cos(2x).
  • Komt 1× voor, essentiële openingsstap van het bewijs (1 van de 6 scorepunten expliciet, rest hangt er verder van af).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — g(x)=f’(x) waarbij f(x)=x·ln(x)−x+1; productregel nodig voor x·ln(x) (afgeleide 1·ln(x)+x·(1/x)).
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (1 van de 5 scorepunten).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = −(x−2)·(½x+2) + 1 voor x<2 differentiëren als product van twee factoren: f’(x) = −1·(½x+2) − (x−2)·½.
  • Komt 1× voor, kernstap (2 van de 5 scorepunten).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in de aanvulling op het correctievoorschrift — “Toepassen van de productregel geeft Fa’(x) = (1/a)e^(ax) + x·a·e^(ax) = (1/a)e^(ax) + xe^(ax) (=f_a(x)).” Deze aanvulling verving het volledige oorspronkelijke antwoordmodel van vraag 4.
  • Komt 1× voor, maar met een opvallende correctie-geschiedenis: het oorspronkelijke correctievoorschrift werd na afname geschrapt en vervangen door een model dat de productregel expliciet vereist.
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van x·ln(ax) (productregel), samen met kettingregel genoemd in de Opmerking.
  • Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) = −sin(t)sin(2t) + cos(t)·2cos(2t), differentiëren van een product van twee t-afhankelijke functies.
  • Komt 2× voor, beide keren gekoppeld aan de kettingregel in dezelfde Opmerking (12 scorepunten samen betrokken).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Standaardafgeleiden
• Somregel en verschilregel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kettingregel